新高考一轮复习核心考点讲与练考点22 抛物线原卷版

考点22抛物线（核心考点讲与练）1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.求抛物线的标准方程的方法：①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．2.确定及应用抛物线性质的技巧：①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．抛物线的定义与方程一、单选题1．（2022·广东·二模）已知抛物线E：SKIPIF1<0，圆F：SKIPIF1<0，直线l：SKIPIF1<0（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且SKIPIF1<0，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．63.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线SKIPIF1<0第一象限上一点SKIPIF1<0到其焦点的距离为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、多选题4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足SKIPIF1<0C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|5．（2022·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．平面ACD⊥平面ABCB．球心O为△ABC的中心C．直线OM与CD所成的角最小为SKIPIF1<0D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分6．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为2，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0D．过点SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0轴平分SKIPIF1<0，则SKIPIF1<07．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，焦点为F，则（

）A．点M到焦点的距离为3B．直线MF与x轴垂直C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D．过点M与C相切的直线方程为SKIPIF1<0三、填空题8．（2022·辽宁沈阳·二模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，在C上有一点P，SKIPIF1<0，则点P到x轴的距离为______．抛物线的几何性质1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0上一动点P到直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的距离之和的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）SKIPIF1<0年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0在第一象限的交点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0在第一象限的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的取值范围为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0直线与抛物线的位置关系1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l：y=x+1与抛物线C：x2=2py（p>0）相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得SKIPIF1<0（O为坐标原点）.（1）求此抛物线的标准方程；（2）若正方形PQHR的三个顶点P，Q，H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到焦点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）设纵截距为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个不同的点，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3 C.6 D.92.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知SKIPIF1<0为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的准线方程为______.3.（2021年全国高考乙卷）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0斜率的最大值.一、单选题1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线SKIPIF1<0上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足SKIPIF1<0（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．42．（2022·河北唐山·二模）F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0在C上，直线MF交C的准线于点N，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．123．（2022·天津·一模）已知抛物线SKIPIF1<0的准线与双曲线SKIPIF1<0相交于D､E两点，且OD⊥OE（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·辽宁锦州·一模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点P是C上一点，且SKIPIF1<0，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．2或4 C．4 D．4或65．（2022·广东惠州·一模）若抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上一点P（2，SKIPIF1<0）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x二、多选题6．（2022·河北秦皇岛·二模）过抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0作两条相互垂直的直线，与SKIPIF1<0的另外两个交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的准线方程是SKIPIF1<0B．过SKIPIF1<0的焦点的最短弦长为8C．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离最大时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<07．（2022·江苏江苏·二模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过原点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交抛物线于另一点SKIPIF1<0，交抛物线的准线于点SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．存在直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0面积的最小值为28．（2022·广东·一模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，抛物线C上存在n个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）满足SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为9C．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为89．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为2，则（

）A．焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0B．过点SKIPIF1<0恰有2条直线与抛物线SKIPIF1<0有且只有一个公共点C．直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交所得弦长为8D．抛物线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<010．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知F是抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点F作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与C相交于A，B两点，SKIPIF1<0与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以SKIPIF1<0为直径的圆与l相切C．SKIPIF1<0的最小值为32 D．当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<011．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在抛物线上，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．抛物线方程为SKIPIF1<0 B．F是SKIPIF1<0的重心C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题12．（2022·北京丰台·二模）已知抛物线C：SKIPIF1<0，则抛物线C的准线方程为______．13．（2022·福建·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0在第一象限内的交点为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）若抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到焦点的距离是点A到y轴距离的2倍，则SKIPIF1<0___________.四、解答题15．（2022·山东济宁·二模）已知抛物线E：SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0在抛物线E上，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0