人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计1：7 4 2　超几何分布教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布教学目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．教学知识梳理知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).归纳领悟(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．教学案例案例一超几何分布的辨析例1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是________．〖解析〗依超几何分布的数学模型及计数公式，知①②中的变量不服从超几何分布，③④中的变量服从超几何分布．〖答案〗③④反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.〖解析〗根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．〖答案〗①②案例二超几何分布的概率例2.某校高三年级某班的课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．解：依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,6)C\o\al(4－r,4),C\o\al(4,10))(r＝0,1,2,3,4)．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(0,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14).故X的分布列为X01234Peq\f(1,210)eq\f(4,35)eq\f(3,7)eq\f(8,21)eq\f(1,14)反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2.从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6).案例三超几何分布与二项分布间的关系例3.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．解：(1)设随机抽取的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X服从超几何分布，它可能的取值为0,1,2,3.P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,6)C\o\al(3－r,4),C\o\al(3,10))(r＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，∴X的分布表如下.X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)该同学能及格表示他能背出2篇或3篇课文，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)跟踪训练3.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以随机变量X的概率分布为X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(2,15)＋eq\f(3,10)＝eq\f(13,30).课堂小结1．知识清单：(1)超几何分布的概念及特征．(2)超几何分布的均值．(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．2．方法归纳：类比．3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．当堂检测1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是()A.eq\f(28,45)B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45) D.eq\f(17,45)〖答案〗B〖解析〗由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．〖答案〗10,3,53．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)用Y表示新录用员工的月工资，求Y的分布列．解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)C\o\al(4－k,4),C\o\al(4,8))(k＝0,1,2,3,4)．则X的分布列为X＝k01234P(X＝k)eq\f(1,70)eq\f(16,70