人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：习题课一 求数列的通项

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1习题课一求数列的通项题型一利用累加、累乘法求数列的通项公式〖例1〗(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，求an.解(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，n≥2.又a1＝1也适合上式，∴an＝eq\f(n（n＋1）,2)，n∈N*.(2)由条件知eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，累乘，即eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…·eq\f(n－1,n)(n≥2).∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n)，又∵a1＝eq\f(2,3)，∴an＝eq\f(2,3n)，n≥2.又a1＝eq\f(2,3)也适合上式，∴an＝eq\f(2,3n)，n∈N*.规律方法(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式.将原递推公式转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq\f(a2,a1)＝f(1)，eq\f(a3,a2)＝f(2)，…，eq\f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq\f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1).〖训练1〗数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，故an＝eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以an＝2n.题型二构造等差(比)数列求通项公式〖例2〗(1)在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).①证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；②求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.(1)①证明由6anan－1＋an－an＋1＝0，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝6(n≥2)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3为首项，6为公差的等差数列.②解由①可得eq\f(1,an)＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以an＝eq\f(1,6n－3)，n∈N*.(2)解由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.规律方法(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.(2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系数法，解得t＝eq\f(q,p－1)；第三步写出数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通项公式；第四步写出数列{an}的通项公式.〖训练2〗已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2).试求数列{bn}的通项公式.解∵Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)，∴(eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1))(eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1))＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2).又eq\r(Sn)>0，∴eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1.又eq\r(S1)＝1，∴数列{eq\r(Sn)}是首项为1，公差为1的等差数列，∴eq\r(Sn)＝1＋(n－1)×1＝n，故Sn＝n2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，b1＝1符合上式.∴bn＝2n－1.题型三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式〖例3〗(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an等于()A.2n＋1 B.2nC.2n－1 D.2n－2(2)已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)·an，则eq\f(an,an－1)的最大值为()A.－3 B.－1C.3 D.1〖解析〗(1)因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以eq\f(an,an－1)＝2.因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.(2)由Sn＝eq\f(n＋2,3)an得，当n≥2时，Sn－1＝eq\f(n＋1,3)an－1，两式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)＝1＋eq\f(2,n－1)，由此可得，当n＝2时，eq\f(an,an－1)取得最大值，其最大值为3.〖答案〗(1)A(2)C规律方法已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.〖训练3〗在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式an.解由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1，得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n,2)an，两式作差得nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1－eq\f(n,2)an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.于是an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2×3n－2,n)，n≥2，n∈N*.))一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是()A.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an＋1＋n－1（n∈N*，n≥2）))B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n（n∈N*，n≥2）))C.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n－1（n∈N*，n≥2）))D.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n＋1（n∈N*，n≥2）))〖解析〗由题意可得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，……∴an－an－1＝n(n≥2)，故数列的递推公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n（n∈N*，n≥2）))故选B.〖答案〗B2.数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9＝()A.1024 B.1023C.510 D.511〖解析〗由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.〖答案〗D3.已知数列{an}的各项均为正数，且aeq\o\al(2,n)－an－n2－n＝0，则an＝________.〖解析〗由aeq\o\al(2,n)－an－n(n＋1)＝0，得〖an－(n＋1)〗(an＋n)＝0.又an>0，所以an＝n＋1.〖答案〗n＋14.已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a10＝________.〖解析〗由a1a2a3…an＝n2，得a1a2a3…an－1＝(n－1)2(n≥2)，所以an＝eq\f(n2,（n－1）2)(n≥2)，所以a10＝eq\f(100,81).〖答案〗eq\f(100,81)5.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.解由an＋1＝eq\f(an,a