人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案3：5 1 2 导数的概念及其几何意义

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15.1.2导数的概念及其几何意义〖自主预习〗导思1．什么是函数在某点处的导数？它的几何意义是什么？2．导函数是如何定义的？它与函数在某点处的导数有何关系？1.函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的自变量x从x0变化到x0＋Δx的平均变化率定义式eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),Δx)实质函数值的改变量与自变量的改变量之比意义刻画函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0，x0＋Δx))上函数值变化的快慢〖思考〗(1)Δx＝x2－x1是正数吗？(2)函数的平均变化率的几何意义是什么？2．函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处的导数(瞬时变化率)(1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处的导数．(2)记作f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))或，即f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),Δx).(3)作用：刻画函数在某点处函数值变化的快慢．〖思考〗(1)函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处的导数一定存在吗？(2)函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗？3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),Δx)＝f′(x0).〖思考〗(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？(2)曲线的切线与导数有什么关系？4．导函数的概念(1)定义：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).(2)记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).〖思考〗f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？〖基础小测〗1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．()(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．()(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．()2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A.f′(x)＝a B．f′(x)＝bC.f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b3．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是()A.x＝－5处比x＝－2处变化快 B.x＝－4处呈上升趋势C.x＝1和x＝2处增减趋势相反 D.x＝0处呈上升趋势4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．〖合作学习〗类型一求函数在某点处的导数(数学抽象、数学运算)〖典例〗1．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)＝()A．eq\f(1,2) B．2 C．1 D．－12．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－13．求函数f(x)＝eq\r(x)在x＝1处的导数．〖解题策略〗求函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数的三个步骤〖跟踪训练〗若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则eq\o(lim,\s\do9(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0－h）,h)等于()A．f′(x0) B．2f′(x0)C．－2f′(x0) D．0类型二导数的意义在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算)〖典例〗一质点做抛物线运动，已知在ts时，质点的运动路程(单位：m)为seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＝8－3t2.(1)求质点在〖1，1＋Δt〗这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1s时的瞬时速度，并说明它们的意义．〖解题策略〗关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生．可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小．〖跟踪训练〗1．某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()2．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(\r(x),10)＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．类型三导数几何意义的应用(数学抽象、数学运算)角度1求切线方程〖典例〗已知曲线C：y＝x2.求曲线在x＝1点处的切线方程．〖变式探究〗求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．角度2导数值的大小与函数图象变化间的关系〖典例〗1.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个选项中的图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()2．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y＝－x2＋4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤2))来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．〖解题策略〗1．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．导数几何意义理解中的两个关键点关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′(x0)＞0；k＜0⇔f′(x0)＜0；k＝0⇔f′(x0)＝0.关键点二：|f′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢．〖跟踪训练〗已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．求a的值和切点的坐标．〖跟踪训练〗已知f(x)＝x2＋2.求：(1)f(x)在x＝1处的导数；(2)f(x)在x＝a处的导数．〖课堂达标〗1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A.0>f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)<0C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)>f′(xB)>03．曲线y＝eq\f(9,x)在点(3，3)处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°4．曲线f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．5．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖自主预习〗1.函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的自变量x从x0变化到x0＋Δx的平均变化率〖思考〗(1)〖提示〗：Δx＝x2－x1可能是正数，也可能是负数，但不能为0.(2)〖提示〗：几何意义为函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))图象上过两点P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))的割线的斜率．2．函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处的导数(瞬时变化率)〖思考〗(1)〖提示〗：当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)的极限存在，则函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在x＝x0处可导，否则在x＝x0处不可导或无导数．(2)〖提示〗：还可以表示为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),－Δx)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),x－x0)等．3．导数的几何意义〖思考〗(1)〖提示〗：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．(2)〖提示〗：①函数f(x)在x＝x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)＝eq\r(3,x)在x＝0处有切线，但不可导．4．导函数的概念〖思考〗〖提示〗：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．〖基础小测〗1．(1)〖提示〗：×函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(2)〖提示〗：×函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．(3)〖提示〗：√函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(4)〖提示〗：×函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．2．〖解析〗f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))(a＋b·Δx)＝a.〖答案〗C3．〖解析〗根据导数的几何意义：f′(－5)＞0，f′(－4)＞0，f′(－2)＝0，f′(0)＜0，f′(1)f′(2)＜0，判断可知D错误．〖答案〗D4．〖解析〗设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又0°≤α＜180°，所以α＝45°.〖答案〗45°〖合作学习〗类型一求函数在某点处的导数(数学抽象、数学运算)〖典例〗1．〖解析〗由题意可得：eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)，即：eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)＝eq\f(1,2)×2＝1.〖答案〗C2．〖解析〗因为f′(1)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.〖答案〗A3．〖解〗由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)，而eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，又eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).〖跟踪训练〗〖解析〗因为Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.所以eq\o(lim,\s\do9(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0－h）,h)＝2eq\o(lim,\s\do9(h→0))eq\f(f（x0＋h）－f（x0－h）,2h)＝2f′(x0).〖答案〗B类型二导数的意义在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算)〖典例〗〖解〗(1)因为seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＝8－3t2，所以Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，所以质点在〖1，1＋Δt〗这段时间内的平均速度为：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝－6－3Δt.(2)质点在t＝1s时的瞬时速度即s′(1).s′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))(－6－3Δt)＝－6.质点在t＝1s时的瞬时速度为－6m/s，说明在第1s附近，质点的运动路程每秒大约减少6m．〖跟踪训练〗1．〖解析〗从函数图象上看，要求图象在〖0，T〗上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．〖答案〗B2．〖解〗根据导数的定义，得f′(100)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（100＋Δx）－f（100）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(（100＋Δx＋\r(100＋Δx)＋3）－（100＋\r(100)＋3）,10Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋Δx)－10,10Δx)))＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10×（\r(100＋Δx)＋10）)))＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10×（10＋10）)＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2.类型三导数几何意义的应用(数学抽象、数学运算)角度1求切线方程〖典例〗〖解〗把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(（1＋Δx）2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))(Δx＋2)＝2，所以k＝y′|x＝1＝2.所以曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.〖变式探究〗〖解〗设切点为Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a2＋1))，k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))(2a＋Δx)＝2a.所以在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a).(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)，解得a＝1±eq\r(2).再把a＝1±eq\r(2)代入到(*)式中．即得y＝(2＋2eq\r(2))x－(2＋2eq\r(2))或y＝(2－2eq\r(2))x－(2－2eq\r(2)).这就是所求的切线方程．角度2导数值的大小与函数图象变化间的关系〖典例〗1.〖解析〗由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．〖答案〗B2．〖解〗因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([－（x＋Δx）2＋4（x＋Δx）]－（－x2＋4x）,Δx)＝eq\f(－2x·Δx＋4Δx－（Δx）2,Δx)＝－2x＋4－Δx，所以y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－2x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤2)).由于y′＝－2x＋4在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上是减函数，且0≤y′≤1，故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x达到2时坡度接近0°.〖跟踪训练〗〖解〗设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－2（x＋Δx）2＋3－（x3－2x2＋3）,Δx)＝3x2－4x.由题意可知，直线l的斜率k＝4，即3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，所以切点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2，3).当切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，a＝eq\f(121,27)；当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.所以当a＝eq\f(121,27)时，切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))