人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案2：4 2 1 第2课时 等差数列的性质

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE14.2.1第2课时等差数列的性质〖学习目标〗1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．〖自主学习〗知识点1等差数列通项公式的推广等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq\f(an－am,n－m).知识点2等差数列的性质在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋＝ap＋.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.知识点3由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)〖合作探究〗探究一等差数列推广通项公式的应用〖例1〗在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．〖练习1〗数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11探究二等差数列与一次函数的关系〖例2〗已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？〖练习2〗某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？探究三等差数列性质的应用〖例3〗已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．〖练习3〗在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．探究四等差数列的实际应用〖例4〗某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？〖练习4〗在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的气温．〖课堂达标〗1．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于()A．32 B．－32 C．35 D．－352．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A．12 B．8 C．6 D．43．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．4．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，则am＋n的值为________．5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖自主学习〗知识点2等差数列的性质an aq〖合作探究〗探究一等差数列推广通项公式的应用〖例1〗解因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.〖练习1〗〖答案〗B〖解析〗∵{bn}为等差数列，设其公差为d，则d＝eq\f(b10－b3,10－3)＝eq\f(12－－2,7)＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.探究二等差数列与一次函数的关系〖例2〗解取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，求差得an－an－1＝(pn＋q)－〖p(n－1)＋q〗＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.〖练习2〗解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．探究三等差数列性质的应用〖例3〗解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.〖练习3〗解方法一∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13， ①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11， ②由①②联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝13，,a1＋4d＝11，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－2，,a1＝19.))∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.探究四等差数列的实际应用〖例4〗解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．〖练习4〗解用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n，∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.〖课堂达标〗1．〖答案〗C〖解析〗由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.2．〖答案〗B〖解析〗由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.3．〖答案〗－21〖解析〗设这三个数为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1，∴这三个数的积为－21.4．〖答案〗0〖解析〗方法一设等差数列的公差为d，则d＝eq\f(am－an,m－n)＝eq\f(n－m,m－n)＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am＝am＋b＝n，,an＝an＋b＝m，))得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.5．解设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3