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限时集训(四十七)空间向量的运算及空间位置关系(限时:45分钟满分:81分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则|AB|等于()A.12 B.9C.25 D.102.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,λ,\f(15,2)))平行,则λ=()A.eq\f(2,3) B.eq\f(9,2)C.-eq\f(9,2) D.-eq\f(2,3)3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为()A.1 B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,5)4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三个向量共面,则实数λ等于()A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(64,7) D.eq\f(65,7)5.如图,在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是()A.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+c B.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+cC.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c D.-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c6.(·武汉模拟)二面角α-l-β为60°,A、B是棱l上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2a B.eq\r(5)aC.a D.eq\r(3)a二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.已知点P在z轴上,且满足|OP|=1(O为坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离为________.8.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是________.9.已知a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量a+b与a-b的夹角是________.三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b(2)在直线AB上,是否存在一定点E,使得⊥b?(O为原点).11.(·合肥模拟)如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,M、N分别是线段AD1和BD的中点.(1)证明:直线MN∥平面B1CD1;(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,若以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B112.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(1)写出点E、F的坐标;(2)求证:A1F⊥C1E;(3)若A1、E、F、C1四点共面,求证:=eq\f(1,2)+.答案限时集训(四十七)空间向量的运算及空间位置关系1.D2.C3.D4.D5.A6.A7.eq\r(2)或eq\r(6)8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3)))9.90°10.解:(1)2a+b故|2a+b|=eq\r(02+-52+52)=5eq\r(2).(2)=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=eq\f(9,5),因此存在点E,使得⊥b,此时E点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(6,5),-\f(14,5),\f(2,5))).11.解:(1)连接CD1、AC,则N是AC的中点,在△ACD1中,又M是AD1的中点,eq\a\vs4\al(∴MN∥)CD1.又MN⊄平面B1CD1,CD1⊂平面B1CD1,∴MN∥平面B1CD1.(2)由条件知B1(a,a,a),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),0,\f(a,2))),∴|B1M|=eq\r(a-\f(a,2)2+a-02+a-\f(a,2)2)=eq\f(\r(6),2)a,即线段B1M的长为eq\f(\r(6),2)a.12.解:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a),∴=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),∴·=-ax+a(x-a)+eq\a\vs4\al(a2=0),∴A1F⊥,∴A1F⊥C1E(3)∵A1、E、F、C1四点共面,∴、、共面.选与为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-
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