高考数学一轮复习 第十三章 第2讲 古典概型配套限时规范训练 理 苏教版

第2讲古典概型分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·宿迁模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)2．(·陕西卷改编)甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)3．(·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)4．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．解析要及格必须答对2道或3道题，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)＝7(种)情形，故P＝eq\f(7,C\o\al(3,5))＝eq\f(7,10).答案eq\f(7,10)5．(·苏州调研)已知集合A＝{2,5}，在A中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边恰好构成三角形”的概率是________．解析A中有两个数字，a，b，c可重复，共有8种不同取法，其中可以构成三角形的取法有5种，分别为(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5种，∴构成三角形的概率为eq\f(5,8).答案eq\f(5,8)6．(·南京、盐城调研一)袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．解析四个球中任取3个球的方法共有4种，其中恰好成等差数列的有两种：2,3,4和2,4,6，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)二、解答题(每小题15分，共30分)7．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有：{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq\f(3,16).故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).8．(·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝eq\f(35,70)＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率P＝0.5.(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).分层训练B级创新能力提升1．(·苏北四市调研一)已知a，b∈{1,2,3,4,5,6}，直线l1：x－2y－1＝0，l2：ax＋by－1＝0，则直线l1⊥l2的概率为________．解析由l1⊥l2，从而a＝2b，有(2,1)，(4,2)，(6,3)共3种，其概率大小为P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).答案eq\f(1,12)2．(·湖北卷)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为________．解析用间接法，得所求概率为P＝1－eq\f(\f(1,2)×27×26,\f(1,2)×30×29)＝1－eq\f(117,145)＝eq\f(28,145).答案eq\f(28,145)3．(·阜宁第一次调研)连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，若b＝(－1,1)，△ABC中eq\o(AB,\s\up6(→))与a同向，eq\o(CB,\s\up6(→))与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________．解析∵∠ABC是钝角，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)夹角为锐角，∴n－m>0，m<n，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC是钝角的概率是eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)4．(·重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析6节课共有Aeq\o\al(6,6)种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,3)·2Aeq\o\al(3,3)种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种排法．则满足条件的概率为eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(1,3)·2A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．(·广东卷)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.6．(·福建卷)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)