高考数学一轮复习 第六章 不等关系与不等式训练 理 新人教A版

【创新设计】高考数学一轮复习第六章不等关系与不等式训练理新人教A版eq\a\vs4\al(第一节不等关系与不等式)[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；(2)利用不等式的性质进行大小关系的比较．(3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.[归纳·知识整合]1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[探究]1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．2．(1)a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立吗？(2)a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立．(2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选B当c＝0时，①不成立；当|a|＝1，b＝－2时，④不成立．2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是()A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>aC．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2解析：选B∵a2＋a<0，∴－1<a<0.不妨令a＝－eq\f(1,2)，易知选项B正确．3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d解析：选D由不等式的性质知，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.4．(教材习题改编)已知a>b>0，c>d>0，则eq\r(\f(a,d))与eq\r(\f(b,c))的大小关系为________．解析：∵c>d>0，∴eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0.又∵a>b>0，∴eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0.∴eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c)).答案：eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))5．已知12<x<60,15<y<36，则x－y的取值范围是________．解析：∵15<y<36，∴－36<－y<－15.又∵12<x<60∴12－36<x－y<60－15，即－24<x－y<45.答案：(－24,45)用不等式(组)表示不等关系[例1]某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[自主解答]若提价后商品的售价为x元，则销售量减少eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.———————————————————实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言及其转换关系如下表：文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤400，,2x＋y≤500，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))比较大小[例2](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定[自主解答](1)M－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.(2)设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝eq\f(\f(s,2),a)＋eq\f(\f(s,2),b)＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)＝eq\f(sa＋b,2ab)，s＝ta＋tb⇒2t＝eq\f(2s,a＋b).T－2t＝eq\f(sa＋b,2ab)－eq\f(2s,a＋b)＝s×eq\f(a＋b2－4ab,2aba＋b)＝eq\f(sa－b2,2aba＋b)>0，即乙先到教室．[答案](1)B(2)B若将本例(1)中“a1，a2∈(0,1)”改为“a1，a2∈(1，＋∞)”，试比较M与N的大小．解：∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2∴当a1，a2∈(1，＋∞)时，a1－1>0，a2－1>0.∴(a1－1)·(a2－1)>0.∴M－N>0，即M>N.———————————————————比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论注意所比较的两个数的符号.3特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路.2．比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.解：(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.(2)eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝aa－beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b.∵当a>b，即a－b>0，eq\f(a,b)>1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，∴aabb>abba.当a<b，即a－b<0，eq\f(a,b)<1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，∴aabb>abba.∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.不等式性质的简单应用[例3](1)(·湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③(2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[自主解答](1)①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>1⇒\f(1,ab)>0,a>b))⇒a·eq\f(1,ab)>b·eq\f(1,ab)⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)>\f(1,a),c<0))⇒eq\f(c,b)<eq\f(c,a)即eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，所以①正确；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>1⇒\f(a,b)>1,c<0))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c<1,bc>0))⇒ac<bc，所以②正确；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>1,c<0))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a－c>b－c,a>1))⇒loga(a－c)>loga(b－c)，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>1,c<0))⇒a－c>1⇒logb(a－c)>loga(a－c)，所以logb(a－c)>loga(b－c)．所以③正确．(2)①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，得eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②由ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，得bc>ad，即bc－ad>0；③由bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，得ab>0；故可组成3个正确的命题．[答案](1)D(2)D———————————————————与不等式有关的命题的真假判断在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．3．(·包头模拟)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列命题：(1)ad>bc；(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0；(3)a－c>b－d；(4)a(d－c)>b(d－c)中能成立的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵a>0>b，c<d<0，∴ad<0，bc>0，∴ad<bc.∴(1)错误．∵a>0>b>－a，∴a>－b>0.∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴a(－c)>(－b)(－d)．∴ac＋bd<0.∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)<0.∴(2)正确．∵c<d，∴－c>－d.∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d.∴(3)正确．∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)．∴(4)正确．1个区别——不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“>”，“<”，“≠”，“≥”，“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”，“a<b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，就像相等关系可以用等式体现一样，不等关系可以用不等式体现．2条常用性质——不等式取倒数的性质(1)倒数性质：①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3个注意点——应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b<c⇒a<c.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)“a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误[典例](·盐城模拟)已知－1<a＋b<3；2<a－b<4，则2a＋3b[解析]设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又∵－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，∴－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2)，即－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，\f(13,2)))eq\a\vs4\al([易误辨析])1．本题易忽视题目中字母a，b相互制约的条件，片面地将a，b分割开来考虑，导致字母的范围发生变化，从而造成解题的错误．2．当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的范围，以免扩大范围．eq\a\vs4\al([变式训练])已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c>b－d,c>d))⇒a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．2．(·朔州模拟)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a解析：选D由－1<b<0，可得b<b2<1，又a<0，∴ab>ab2>a.3．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C．(0，π) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析：选D∵0<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0.∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.4．(·南平模拟)如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0解析：选C由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．5．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C∵a>0，b>0，a<b，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，由不等式的性质a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b).∴由a<b可得出a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b).当a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)时，可得(a－b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))<0，即(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))<0.又∵a>0，b>0，∴a－b<0.∴a<b.故由a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)可得出a<b.∴“a<b”是“a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)”成立的充要条件．6．已知0＜a＜eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，则M，N的大小关系是()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不能确定解析：选A∵0＜a＜eq\f(1,b)，∴1＋a＞0,1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(2－2ab,1＋a1＋b)＞0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．解析：图(1)所示广告牌的面积为eq\f(1,2)(a2＋b2)，图(2)所示广告牌的面积为ab，显然不等式表示为eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab(a≠b)．答案：eq\f(1,2)(a2＋b2)>ab(a≠b)8．若x>y>z>1，则eq\r(xyz)，eq\r(xy)，eq\r(yz)，eq\r(xz)从大到小依次为________．解析：因为x>y>z>1，所以有xy>xz，xz>yz，xyz>xy，于是有eq\r(xyz)>eq\r(xy)>eq\r(xz)>eq\r(yz).答案：eq\r(xyz)，eq\r(xy)，eq\r(xz)，eq\r(yz)9．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若m<n，且m＋n＝a－1，则f(m)与f(n)的大小关系为________．解析：f(m)－f(n)＝am2＋2am－an2－2an＝a(m2－n2)＋2a(m－n)＝a(m－n)(m＋n＋2)＝a(m－n)(a∵a>0，∴a(a＋1)>0.又m<n，故a(m－n)(a＋1)<0.∴f(m)<f(n)．答案：f(m)<f(n)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．比较x3与x2－x＋1的大小．解：x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．∵x2＋1>0，∴当x>1时，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1；当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1；当x<1时，(x－1)(x2＋1)<0，即x3<x2－x＋1.11．设a>b>c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.证明：∵a>b>c，∴－c>－b.∴a－c>a－b>0.∴eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)>0.又b－c>0，∴eq\f(1,b－c)>0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝f1，,4a－c＝f2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)[f2－f1]，,c＝－\f(4,3)f1＋\f(1,3)f2.))所以f(3)＝9a－c＝－eq\f(5,3)f(1)＋eq\f(8,3)f(2)．因为－4≤f(1)≤－1，所以eq\f(5,3)≤－eq\f(5,3)f(1)≤eq\f(20,3).因为－1≤f(2)≤5，所以－eq\f(8,3)≤eq\f(8,3)f(2)≤eq\f(40,3).两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()A．v<40km/h B．v>40km/hC．v≠40km/h D．v≤40km/h解析：选D速度v不超过40km/h，即v≤40km/h.2．已知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的(A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选Ba>b⇒/ac2>bc2，因为当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2>bc2⇒a>b.3．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.eq\a\vs4\al(第二节一元二次不等式及其解法)[备考方向要明了]考什么怎么考1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法．如年重庆T2等．2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围．3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识.[归纳·知识整合]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[探究]1.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切x∈R都成立的条件是什么？提示：ax2＋bx＋c>0对一切x∈R都成立的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))ax2＋bx＋c<0对一切x∈R都成立的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2．可用(x－a)(x－b)>0的解集代替eq\f(x－a,x－b)>0的解集，你认为如何求不等式eq\f(x－a,x－b)<0，eq\f(x－a,x－b)≥0及eq\f(x－a,x－b)≤0的解集？提示：eq\f(x－a,x－b)＜0⇔(x－a)(x－b)<0；eq\f(x－a,x－b)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－ax－b≥0，,x－b≠0；))eq\f(x－a,x－b)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－ax－b≤0，,x－b≠0.))[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∩B＝()A．{x|－4<x<1} B．{x|－4<x<3}C．{x|－4<x<1或3<x<4} D．{x|1<x<4}解析：选C由x2－16<0，得－4<x<4，故A＝{x|－4<x<4}．由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，故B＝{x|x>3或x<1}．故A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．2．不等式eq\f(x－3,x－1)≤0的解集为()A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤3} D．{x|1<x<3}解析：选C由eq\f(x－3,x－1)≤0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3x－1≤0，,x－1≠0，))解之得1＜x≤3.3．(教材习题改编)设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,3)))))，则ab的值为()A．－6 B．－5C．6 D．5解析：选C∵x＝－1，eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴－eq\f(b,a)＝－1＋eq\f(1,3)即eq\f(b,a)＝eq\f(2,3).又－1×eq\f(1,3)＝eq\f(1,a)，∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.4．(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．解析：∵方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(m＋1)2＋4m>0，即m2＋6∴m<－3－2eq\r(2)或m>－3＋2eq\r(2).答案：(－∞，－3－2eq\r(2))∪(－3＋2eq\r(2)，＋∞)5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法[例1]求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－3>0；(2)x2－4x－5≤0；(3)ax2－(a＋1)x＋1<0.[自主解答](1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－eq\r(13)，x2＝4＋eq\r(13).又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－eq\r(13)<x<4＋eq\r(13)}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq\f(1,a)，或x>1.若a>0，原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.①当a＝1时，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0无解；②当a>1时，eq\f(1,a)<1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得eq\f(1,a)<x<1；③当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得1<x<eq\f(1,a).综上所述，当a<0时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))或x>1))；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<x<1)).若将本例(2)改为“x2＋4x＋5≤0”呢？解：∵Δ＝42－4×5＝16－20＝－4<0，∴不等式x2＋4x＋5≤0的解集为∅.———————————————————一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解．(2)对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2<0(a解：(1)原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(x＋a)(x－3a∵a<0，∴3a<－a∴原不等式的解集为{x|3a<x<－a一元二次不等式的恒成立问题[例2]已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．[自主解答](1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x<0，不符合题意．当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝4－4m1－m<0，))则m无解．综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2<0，,f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2－2x＋3<0，①,2x2－2x－1<0.②))由①，得x<eq\f(－1－\r(7),2)或x>eq\f(－1＋\r(7),2).由②，得eq\f(1－\r(3),2)<x<eq\f(1＋\r(3),2).由①②，得eq\f(－1＋\r(7),2)<x<eq\f(1＋\r(3),2).∴x的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(7),2)<x<\f(1＋\r(3),2))))).———————————————————恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．(3)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R2．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,a<－1，,g－1≥0.))解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．一元二次不等式的应用[例3]某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？[自主解答](1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－12－10×10000>0，,0<x<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6000x2＋2000x>0，,0<x<1，))解得0<x<eq\f(1,3)，所以投入成本增加的比例应在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))范围内．———————————————————解不等式应用题的步骤3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用通过计算得eq\f(x35－x,20)元．若能够保证选择A比选择B费用少，则eq\f(x35－x,20)>1.5x(0<x<17)，整理得x2－5x<0，解得0<x<5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．1个防范——二次项系数中参数的取值二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况．2种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域.创新交汇——一元二次不等式与函数交汇问题1．一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查．2．解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解．[典例](·浙江高考)设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.[解析]∵x>0，∴当a≤1时，(a－1)x－1<0恒成立．∴[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0不可能恒成立．∴a>1.对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x2<x3，易知x2<0，x3>0.又当x>0时，原不等式恒成立，通过y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1图象可知x1＝eq\f(1,a－1)必须满足方程x2－ax－1＝0，即x1＝x3，代入解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍)．[答案]eq\f(3,2)eq\a\vs4\al([名师点评])1．本题具有以下创新点(1)本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题．(2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平．2．解决本题的关键(1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题；(2)若直接通过函数求导、求最小值，则运算量大，基本上无法求解；而通过一次函数y1＝(a－1)x－1(x>0)及二次函数y2＝x2－ax－1(x>0)图象的变化情况，再结合y1·y2的结果得出eq\f(1,a－1)为方程x2－ax－1＝0的根，使问题得以巧妙解决．eq\a\vs4\al([变式训练])1．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x3f(xA．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：选D由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪2．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为()A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．(2,3)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：选A由导函数图象知当x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2<x2－6≤0或0≤x2－6<3.解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．不等式eq\f(1,x－1)≥－1的解集为()A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选Aeq\f(1,x－1)≥－1⇔eq\f(1,x－1)＋1≥0⇔eq\f(x,x－1)≥0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－1≥0，,x－1≠0，))⇒x≤0或x>1.2．已知不等式2x≤x2的解集为P，不等式(x－1)(x＋2)<0的解集为Q，则集合P∩Q等于()A．{x|－2＜x≤2} B．{x|－2＜x≤0}C．{x|0≤x＜1} D．{x|－1＜x≤2}解析：选BP＝{x|x2－2x≥0}＝{x|x≤0或x≥2}，Q＝{x|－2<x<1}，所以P∩Q＝{x|－2＜x≤0}．3．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的()解析：选B由根与系数的关系知eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，由－x2＋x＋2＝0得两根分别为－1和2.4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200.因为0<x<240，所以150≤x＜240.即最低产量是150台．5．设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A．(－3,1) B．[－3,1]C．[－3，－1] D．(－3，－1]解析：选B∵f(－2)＝f(0)，∴4－2b－3＝－3.解得b＝2.∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0.∴－3≤x≤1.6．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则aA．[1,19] B．(1,19)C．[1,19) D．(1,19]解析：选C函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a(2)当a2＋4aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5>0，,16a－12－12a2＋4a－5<0.))解得1<a<19.综上可知，a的取值范围是1≤a<19.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.答案：{x|0<x<2}8．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，∴x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4.解得－1≤答案：[－1,4]9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－2<a<1.答案：(－2,1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．解不等式：log(3x2－2x－5)≤log(4x2＋x－5)．解：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2－2x－5≥4x2＋x－5，①,4x2＋x－5>0，②))①得x2＋3x≤0即－3≤x≤0，②得x>1或x<－eq\f(5,4)，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x＜－\f(5,4))))).11．当0≤x≤2时，不等式eq\f(1,8)(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，试求t的取值范围．解：令y＝x2－3x＋2,0≤x≤2.∵y＝x2－3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，∴y在0≤x≤2上取得最小值为－eq\f(1,4)，最大值为2.若eq\f(1,8)(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2，在0≤x≤2上恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)2t－t2≤－\f(1,4)，,3－t2≥2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－2≥0，,t2－1≤0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1－\r(3)，,－1≤t≤1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥1＋\r(3)，,－1≤t≤1.))∴t的取值范围为[－1,1－eq\r(3)]．12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝eq\f(nv,100)＋eq\f(v2,400)(n为常数，且n∈N*)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＜s1＜8，,14＜s2＜17.))(1)求n的值；(2)要使刹车距离不超过12.6m，则行驶的最大速度是多少？解：(1)依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＜\f(40n,100)＋\f(1600,400)＜8，,14＜\f(70n,100)＋\f(4900,400)＜17.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＜n＜10，,\f(5,2)＜n＜\f(95,14)，))又n∈N*，所以n＝6.(2)s＝eq\f(3v,50)＋eq\f(v2,400)≤12.6⇒v2＋24v－5040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60km/h.1．不等式2x2－x－1>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析：选D∵2x2－x－1>0，∴(2x＋1)(x－1)>0，∴x<－eq\f(1,2)或x>1.∴解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)))或x>1)).2．如果不等式eq\f(2x2＋2mx＋m,4x2＋6x＋3)<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是()A．(1,3) B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选A由于4x2＋6x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以不等式可化为2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m依题意有(6－2m)2－8(3－m)<0，解得1<m3．若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a解析：依题意可知，问题等价于ax2－x＋2a当a＝0时，－x≥0不恒成立，故a＝0不合题意；当a≠0时，要使ax2－x＋2a即f(x)＝ax2－x＋2a的图象不在x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－8a2≤0.))解得a≥eq\f(\r(2),4)，即a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞))4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：是谁超速行驶应负主要责任？解：由题意列出不等式对甲车型：0.1x＋0.01x2>12，解得x>30(x<－40舍去)；对乙车型：0.05x＋0.005x2>10，解得x>40(x<－50舍去)，从而x甲>30km/h，x乙>40km/h，经比较知乙车超过限速，应负主要责任．第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[备考方向要明了]考什么怎么考1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.考查形式：选择题或填空题．2.命题角度：(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值(范围)，如年广东T5，新课标全国T14，山东T5等．(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如年江西T8等．(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如年陕西T14，福建T9等.[归纳·知识整合]1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax＋By＋C＞0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C＜0.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[探究]1.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是什么？提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.2．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方 B．右下方C．左上方 D．左下方解析：选C画出图形如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．2．(教材习题改编)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()解析：选C(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≥0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－2y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≤0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－2y＋2≥0))解析：选A两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.将点(1,1)代入x＋y－1得1>0，代入x－2y＋2得1>0，即点(1,1)在x－2y＋2≥0的内部，在x＋y－1≥0的内部，故所求二元一次不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0.))4．下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)解析：选C当x＝1，y＝2时，x＋y－1＝1＋2－1＝2>0，当x＝－1，y＝3时，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>0，故(－1,3)与(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同侧．5．(·广东高考)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))则z＝x＋2y的最小值为()A．3 B．1C．－5 D．－6解析：选C变量x，y满足的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0))表示的平面区域如图所示，作辅助线l0：x＋2y＝0，并平移到过点A(－1，－2)时，z＝x＋2y达到最小，最小值为－5.二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1](·福建高考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A．－1 B．1C.eq\f(3,2) D．2[自主解答]如图所示：约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝2x，))得A点坐标为(1,2)，故m的最大值是1.[答案]B———————————————————二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则(1)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．(2)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．(注：若B为负，则可先将其变为正)(3)若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．1．已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A．1 B．－3C．1或－3 D．0解析：选A其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.利用线性规划求最值[例2]变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))设z＝4x－3y，求z的最大值．[自主解答]由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图所示．由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)在y轴上的截距－eq\f(z,3)的最小值．平移直线y＝eq\f(4,3)x知，当直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)过点B时，－eq\f(z,3)最小，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．故zmax＝4×5－3×2＝14.保持例题条件不变，如何解决下列问题．(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解：(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.———————————————————目标函数最值问题分析(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数．(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)之间的距离；eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离．②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化为几何问题．2．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为________．解析：作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：[－1,1]线性规划的实际应用[例3](·江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表()年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50[自主解答]设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋3y≤180，,x≥0，,y≥0.))画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋3y＝180，))解得A(30,20)．[答案]B———————————————————解答线性规划实际问题的一般步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；(2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．3．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A，B两种产品各x件，y件，则x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11，,x＋3y≤9，,x∈N，y∈N，))生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图所示，显然目标函数在点A处取得最大值，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝11，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))此时目标函数的最大值是300×3＋400×2＝1700.故最大利润是1700元．答案：17001种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．1个步骤——利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．1个几何意义——线性目标函数最值的几何意义求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b>0，则截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值．(2)若b<0，则截距eq\f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z取最大值．按m＝(a，b)方向平移直线ax＋by＝0，z越来越大.

创新交汇——与线性规划有关的交汇问题1．线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题．2．解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范．[典例]