(新教材)高中数学A版选择性必修第二册知识点

高中数学 选择性必修第二册第四章数列知识点要点：数列的概念

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.

2.数列的分类

(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.

(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.

4.数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号：1234567

项：45678910

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.

5.递推数列

一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①

数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。等差数列

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，那么这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.等差数列的基本公式通项公式an=a1+(n-1)d，注意：等差数列求和公式

即

第n项=首项+(n-1)×公差（n是项数）前n项和公式（相当于n个等差中项之和）.注意：n是正整数等差数列前n项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为a1（首项），下底为a1+(n-1)d,高为n，即推论一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0.二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.

三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq.若m+n=2p,则am+an=2ap.等差中项等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项.在等差数列中，等差中项一般设为Ar.当Am,Ar,An成等差数列时，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数，并且可以推知n+m=2r，且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，类似地pn=pm+(n-m)d，相当容易证明.它可以看作等差数列广义的通项公式.等差数列常应用于日常生活中，如在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级.其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了Sn=的求和公式.等差数列的基本性质r次等差数列为什么在等差数列的学习中对公差和首项特别地关注？因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点.当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫地抛弃公差和首项.假设一个基向量En(x)=[1,x,x2,…,xk]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,…,bk].b同En的长度一样为k+1，b′表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列；当k=r时，我们可以称为r次数列(x,k只能取自然数).p(x)=En(x)·b′.s(x)=x·En(x)·A·b′.m+n=p+q（m，n，p，q∈N*)，则am+an=ap+aq.一次等差数列的性质1.p1(x),p2(x)均为一次等差数列，则p1(x)±p2(x)与c·p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次等差数列.p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线.2.pm-pn=En(m)·b′-En(n)·b′=(En(m)-En(n))·b′=（0,m-n）·b′.3.m+n=p+q⇒pp+pq=pm+pn

(证明:m+n=p+q⇒En(m)+En(n)=En(p)+En(q).pm+pn=En(m)·b′+En(n)·b′=(En(m)+En(n))·b′pp+pq=(En(p)+En(q))·b′=(En(m)+En(n))·b′=pm+pn）.4.从p(x)=En(x)·b′中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次等差数列，其一次项系数为k·b1(k为取出项数之差)，常数项系数未知.5.在一次等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数．6.当一次项系数b1>0时，数列中的数随项数的增大而增大；当b1<0时，数列中的数随项数的减小而减小；b1=0时，数列中的数等于一个常数.等差数列的判定1.an+1-an=d(d为常数，n∈N*）[或an-an-1=d（n∈N*，n≥2,d是常数）]等价于{an}成等差数列.2.2an+1=an+an+2（n∈N*），等价于{an}成等差数列.

3.an=kn+b（k，b为常数,n∈N*），等价于{an}成等差数列.4.Sn=an2+bn（a，b为常数，a不为0，n∈N*），等价于{an}为等差数列.等差数列前n项和公式Sn的基本性质（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和Sn可以写成Sn=an2

+bn的形式(其中a，b为常数)．（2）在等差数列中，当项数为2n(n∈N*)时，S偶-S奇

=nd，S奇÷S偶=an÷an+1；当项数为(2n－1）(n∈N*)时，S奇-S偶=a中

，S奇÷S偶

=n÷（n-1）．（3）若数列为等差数列，则Sn，S2n－Sn

，S3n－S2n，…，仍然成等差数列，公差为n2d．（4）在等差数列中，Sn=a，Sm=b(n>m)，则Sn-m=(1+)a-3b．（5）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），当d≠0时，an是关于n的一次函数.（6）记等差数列的前n项和为Sn．①若a1>0，公差d<0，则当an≥0且an+d

≤0时，Sn有最大值；②若a1<0，公差d>0，则当an≤0且an+d≥0时，Sn有最小值．（7）若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=-(p+q).等差数列的特殊性质在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中

例：在数列1，3，5，7，9，11中，a1+a6=12;a2+a5=12;a3+a4=12;即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.在等差数列1，3，5，7，9中，即，若项数为奇数，与首末两项距离相等的两项和等于中间项的2倍.另见，等差中项.

 等比数列考点梳理考点一：等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.考点二、等比数列的通项公式要点诠释：①方程观点：知二求一；②函数观点：函数的图象上一群孤立的点；③当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列。考点三、等比数列通项公式的主要性质：（1）等比中项：成等比数列，则；（2）通项公式的推广：；（3）若，则；（4）等比数列中，若.要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。【典型例题】类型一：等比数列的概念、公式例1.若数列为等比数列，,

,

求.思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。解析：法一：令数列的首项为,公比为q，则有

即

，

(2)÷(1)有,

∴.

∴.法二：∵为等比数列，∴

即,

∴.∴.法三：∵为等比数列，∴、、、,…也为等比数列，

∴,

∴

又∵.

∴

点评：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。举一反三：【变式】已知等比数列，若，，求。法一：∵，∴，∴从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或

，以下同方法一。类型二、等比数列的性质【高清课堂：数列的概念388518

典型例题二】例2.（1）等比数列中，，，，则

()A．

B．C．

D．(2)设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝()A．3

B．4

C．5

D．6答案：A

B解析：（1），所以又因为，则所以，则（2），两式相减：所以举一反三【变式1】等比数列中，若,求.解析：∵是等比数列，∴∴例3.若等比数列满足，则公比为（A）2

（B）4

（C）8

（D）16思路分析：充分理解数列递推关系，并能灵活应用。解析：选B，因为等比数列满足，

①

所以

②

②

①得．又因为，所以举一反三【变式】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。答案：216；法一：设这个等比数列为，其公比为，∵，，∴，∴。法二：设这个等比数列为，公比为，则，，加入的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴。类型三：等比数列的判断与证明例4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1(n∈N+),∴a1=S1=51-1=4,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,

∴n∈N+时，an=4×5n-1由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。解析：p=2或p=3；∵{Cn+1-pCn}是等比数列，∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q，且p≠q为证{Cn}不是等比数列，只需证.∵,∴,又∵

p≠q,a1≠0,b1≠0,∴即∴数列{Cn}不是等比数列.【变式3】判断正误：(1){an}为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；(4){an}是公比为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.答案：(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2·a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=0×0，不能说0，0，0成等比；(3)对；{anbn}首项为a1b1，公比为q1q2；(4)对；；(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)无意义.类型四：等比数列的其他类型例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路分析：结合数列的性质设未知数。解析：法一：设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.∴由(2)得a=...........(3)由(1)得32a=d2+32d

..........(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.∴当时,；当d=8时,a=10∴原来三个数为,,或2,10,50.法二：设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列∴由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2；当q=13时.∴原来三个数为2，10，50或，,.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则

2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比数列为2，6，18或.例6．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。思路分析：如果充分考虑到等比数列的性质来设未知数，会使求解过程简单些。解析：设这三个数分别为，由已知得得，所以或，即或故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。总结升华：方程的思想在解决数列问题中的应用。一元函数的导数及其应用平均变化率:一般地，对于函数y=f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率

上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，瞬时速度:

如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即

若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=切线及导数的几何意义：（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。

（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．

②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．

②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．

③在点x=x0处的导数的定义可变形为:

导函数的特点：①导数的定义可变形为：

②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，

③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，

④并不是所有函数都有导函数．

⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．

⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0

=f′(x0)（x-x0）．

②若函数在x=x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x=x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．

③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，

④显然f′（x0）>0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0)=0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．知识点梳理1、常见函数的导数公式：常数函数的导数：；幂函数的导数：；如下：；三角函数的导数：；对数函数的导数：

指数函数的导数：

2、求导数的法则（1）和与差函数的导数：．由此得多项式函数导数（2）积的函数的导数：,

特例[C·f(x)]\\\'＝Cf\\\'(x)。如：①已知函数的导数为，则_____（答：）；②函数的导数为__________（答：）；③若对任意，，则是______（答：）（3）商的函数的导数：

典型题例示范讲解例1求函数的导数

命题意图

本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法

这是导数中比较典型的求导类型

知识依托

解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

错解分析

本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错

技巧与方法

先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导

(2)解

y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγ

γ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一

设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x=f′()··2x

=解法二

y′=［f()］′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1)

·2x=f′()例2利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)命题意图

培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力

知识依托

通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维

由求导公式(xn)′=nxn－1,可联想到它们是另外一个和式的导数

关键要抓住数列通项的形式结构

错解分析

本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想

技巧与方法

第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导

解

(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1,令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·2n－1

例3

已知曲线C

y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标

解

由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2

y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=

由x≠0,知x0=

∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－

∴l方程y=－x

切点(，－)例1、求下列导数（1）y

＝；（2）y

＝x

·sin

x

·ln

x；（3）y

＝；（4）y

＝．解：（1）∵y

＝＝∴（2）y\\\'＝(x

·sin

x

·ln

x)\\\'＝(x

·sin

x)\\\'

·ln

x+(x

·sin

x

)(ln

x)\\\'＝[x\\\'sinx+x(sinx)\\\']·lnx+(x

·sin

x

)＝[sinx+xcos