高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 总体百分位数的估计（原卷版）

第04讲9.2.2总体百分位数的估计课程标准学习目标①结合实例，能用样本估计百分位数。②理解百分位数的统计含义。前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？知识点01：第百分位数（1）第百分位数的概念一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.【即学即练1】（2024上·广东珠海·高二统考期末）数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（

）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7【答案】B【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.故选：B（2）计算第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算.第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.（3）四分位数在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.【即学即练2】（2024·全国·模拟预测）若一组数据的75百分位数是6，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】这组数据为：，但大小不定，因为，所以这组数据的分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有符合．故选：C．题型01百分位数的计算【典例1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【典例2】（2024上·四川成都·高二统考期末）据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（

）A．45 B．50 C．51 D．53【典例3】（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是.【变式1】（2024上·陕西汉中·高一统考期末）抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81，84，82，86，87，92，90，85，则该学生这8次成绩的40%分位数为（

）A．85 B．85.5 C．86 D．86.5【变式2】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下：，则估计这批棉花的第45百分位数为.【变式3】（2024上·云南楚雄·高二统考期末）5名学生的期中考试数学成绩分别为，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，则.题型02百分位数在统计表或统计图中的应用【典例1】（2024上·全国·高三期末）为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（

）

A．65 B．72 C．72.5 D．75【典例2】（2024上·辽宁大连·高三统考期末）如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其分位数为.

【典例3】（2024·陕西榆林·统考一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰【典例4】（2024上·全国·高三期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；

(1)求a；(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间内的车辆数；(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）某校组织了600名学生参与测试，随机抽取了80名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．图中a的值为0.15B．估计这80名学生考试成绩的众数为75C．估计这80名学生考试成绩的中位数为82D．估计这80名学生考试成绩的上四分位数为85【变式2】（2024·全国·高三专题练习）某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的第55百分位数为．

【变式3】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），这组数据的频率分布直方图如图所示．(1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡（不含1.90千大卡）的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内；(2)已知摄取热量范围在的数据为：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96，1.97，1.98，1.99．若1.91是这100个样本数据的第k百分位数，求正整数k的值．【变式4】（2024上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a、b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·河南焦作·高一统考期末）数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（

）A．6 B．7 C．8 D．7.52．（2024上·山东德州·高三统考期末）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（

）A．60 B．65 C．70 D．713．（2024·吉林·统考二模）在25个互不相等的数据中，记上四分位数为，中位数为，第75百分位数为，则（

）A． B．C． D．4．（2024·广东·高三学业考试）以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（

）A．65 B．70 C．75 D．805．（2024·浙江温州·温州中学校考一模）某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.56．（2024上·四川成都·高二统考期末）据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（

）A．45 B．50 C．51 D．537．（2024上·全国·高三期末）为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（

）

A．65 B．72 C．72.5 D．758．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

则在被调查的用户中，月用电量的第71百分位数为（

）A．205 B．215 C．225 D．235二、多选题9．（2023上·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）数据的第65百分位数为35，则的取值可以是（

）A．20 B．35 C．42 D．5310．（2023·广东·校联考二模）某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（

）A．47 B．45 C．53 D．60三、填空题11．（2023·上海宝山·统考一模）在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是12．（2023上·河南·高三统考阶段练习）商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为．

四、解答题13．（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；(2)求频率分布直方图中a的值；(3)估计当天游客满意度分值的分位数.14．（2023上·四川绵阳·高二三台中学校考阶段练习）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a、b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）.B能力提升1．（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）某市A，B两校组织了一次数学联赛（总分120分），两校各自挑选了数学成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀，赛后统计了所有参赛学生的成绩（都在区间内），将这些数据分成4组：，，，.得到如下两个学校的频率分布直方图：

(1)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金（单位：百元）与其成绩的关系为若以奖学金的总额为判断依据，本次联赛A、B两校哪所学校实力更强？(2)B校规定：按照笔试成绩从高到低，选拔的参赛学生进行数学的专业知识深度培养，将当选者称为“数学达人”，按照B校规定及该校频率分布直方图，估计B校“数学达人”的分数至少达到多少分？（保留小数点后两位小数）.2．（2023上·云南昆明·高一校考期中）某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如表所示：A口味B口味星期一二三四五六日星期一二三四五六日销量/个16121410181913销量/个1318102012914(1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小．(2)该面包店