新教材北师大版高中数学必修第一册第七章概率 知识点重点难点归纳总结

第七章概率

7.1随机现象与随机事件..................................................1

7.2古典概型............................................................8

1、古典概率.........................................................8

2、古典概型的应用..................................................12

7.3频率与概率.........................................................17

7.4事件的独立性.......................................................20

7.1随机现象与随机事件

1、随机现象样本空间

1.确定性现象和随机现象

(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.

(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现丕回的结果，而且每

次试验之前都无法预言会出现哪一个结果的现象，称为随机现象.

(3)随机现象的两个特点：

①结果至少有2种；②事先并不知道会出现哪一种结果.

2.样本空间

(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而

进行的实验统称为试验，一般用旦来表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.

(2)样本空间：将试验一的所有可能结果组成的集合称为试验£的样本空间，

记作色

(3)样本点：样本空间0的元素,即试验6的每种可能结果,称为试验E

的样本点，记作上.

(4)有限样本空间：如果样本空间O的样本点的个数是有限的,那么称样本

空间。为有限样本空间.

思考R(l)“向上抛掷一枚骰子，观察向上的点数”是随机现象吗？如果是

随机现象，那么它可能的结果有哪些？

(2)观察随机现象或进行试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的

吗？

［提示］(1)是随机现象.它可能的结果有：出现1点，出现2点，出现3

点，出现4点，出现5点，出现6点，共6个.

(2)不一定，也可能是无限的.如在实数集中，任取一个实数.

疑难解惑

□类型1随机现象和确定性现象的判断

［例1］指出下列现象是确定性现象还是随机现象.

(1)小明在校学生会主席竞选中成功；

(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；

(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；

(4)标准大气压下，把水加热至100°C沸腾；

(5)骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色.

［解］(1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的；

(2)随机现象.因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定.

(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的.

(4)确定性现象.因为标准大气压下，水加热至100°C时“沸腾”这个结果

一定会发生，是确定的.

(5)随机现象.因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的,

是无法确定的.

厂......反领悟..........一

判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结

果是否可以预知、确定.若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象

为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这

类现象称为随机现象.

□类型2样本点和样本空间

［例2］指出下列试验的样本空间：

(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.

［思路点拨］根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间.

［解］(1)样本空间。={(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}.

(2)由题意可知：

1—3=—2,3—1=2,

1-6=-5,6-1=5,

1—10=—9,10—1=9,

3-6=-3,6-3=3,

3-10=-7,10-3=7,

6—10=—4,10—6=4.

即试验的样本空间◎={—2,2,-5,5,-9,9,-3,3,~7,7,

—4,4).

［母题探究］

1.求本例(2)中试验的样本点的总数.

［解］样本点的总数为12.

2.满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？

［解］满足"两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4,

共6个.

3.在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1

个小球，记下颜色后放回，连续取两次，写出试验的样本空间.

［解］样本空间O={(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白

球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑

球，红球)}.

4.在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面

内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间.

［解］由题意可知:样本空间0={(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),

(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6)}.

厂........反领悟..........................

当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总

数.在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏.

2、随机事件随机事件的运算

1.三种事件的定义

一般地，把试验£的样本空间。的子集称为后的随机事件,

随机简称事件，常用力，B,。等表示.在每次试验中，当一个事

事件件发生时，这个子集中的样本点必出现一个;反之，当这个

子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生

事样本空间Q是其自身的子集，因此。也是一个事件；又因

必然

件为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点3出现，

事件

Q都必然发生,因此称Q为必然事件

空集0也是。的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包

不可能

含任何样本点，它在每次试验中都不会发生,故称。为不可能

事件

事件

2.随机事件的运算

事件的运算定义图形表示符号表示

一般地，由事件/与事件8

都发生所构成的事件,称为4n网或

交事件

事件4与事件6的交事件(或⑱

积事件)

一般地，由事件/与事件8

至少有一个发生所构成的事AUB

并事件

件，称为事件力与事件8的（或A+力

并事件(或和事件)

3.互斥事件与对立事件•

事件的运算定义图形表示符号表示

一般地，不能同时发生的两个

互斥事件4与6(4C6=0)称为互斥

408=0

事件事件.它可以理解为48同时

发生这一事件是不可能事件3

对立若/与6互斥(/C8=0),且/AC\B=^_

事件UB=Q,则称事件/与事件8且AUB=g

互为对立事件，事件/的对立

事件记作，

思考(1)一颗骰子投掷一次，记事件4=｛出现的点数为2｝,事件。=｛出现

的点数为偶数｝,事件。=｛出现的点数小于3｝,则事件4C,〃有什么关系？

(2)命题“事件A与8为互斥事件”与命题“事件A与8为对立事件”之间

是什么关系？(指充分性与必要性)

［提示］(i)4=cn〃

(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件/与8为互斥事件”是“事

件/与6为对立事件”的必要不充分条件.

疑难解惑

□类型1事件类型的判断

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

⑵三角形的内角和为和0°；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；

(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.

［解］(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.

(2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以

是不可能事件.

(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.

(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件.

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不

可能事件.

厂........反领悟.............................

判断一个事件是哪类事件要看两点：

一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；

二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一

定不发生的是不可能事件.

口类型2事件关系的判断

［例2］某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛,

判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

⑴“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生"与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.

［解］从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名

女生，1男1女.

(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它

们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们

不是对立事件.

(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件”全是男

生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.

(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由

于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.

(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1

男1女时，”至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是

互斥事件.

厂........反G®领悟.............................A

判断事件间关系的方法

(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生

的条件都是一样的.

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断

关系的，也可列出全部结果，再进行分析.

□类型3事件的运算

【例3］在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A

=｛出现1点｝,8=｛出现3点或4点｝,八=｛出现的点数是奇数｝,。=｛出现的点

数是偶数｝.

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求/AS,AUB,AUD,BCD,8UC

［思路点拨］(1)|分析事件所包含的样本点|-|判断事件的关系

(2)|样本点表示各事和-1进行事件的运算'

［解］在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作

4=｛出现的点数为抖(其中7=1,2,…,6).则A=Alf8=4U4,C=A^A.

U4,Z2=4U4U4.

(1)事件］与事件6互斥，但不对立，事件力包含于事件C,事件/与〃互

斥，但不对立；

事件8与。不是互斥事件，事件6与〃也不是互斥事件；事件。与〃是互斥

事件，也是对立事件.

(2)4C8=0,4U8=4UAU4=｛出现点数1,3或4｝,

NU片4U4U4U4=｛出现点数1,2,4或6｝.

8n9=4=｛出现点数4｝.

BUC=4U4U4U4=｛出现点数1,3,4或5).

［母题探究］

1.在例3的条件下，求/AC,AUC,BCC.

［解］/口。=力=｛出现1点｝,/^。=。=｛出现点数1,3或5｝,80。=4=｛出

现点数3｝.

2.用事件4=｛出现的点数为丹(其中/=1,2,…，6)表示下列事件：

⑴6U〃；(2)f7UD.

［解］(1)8U9=｛出现点数2,3,4或6｝=4040424.

(2)CUD=｛出现点数1,2,3,4,5,6)=4U4U4U4U4U4.

厂.......反廊领悟........--

进行事件运算应注意的问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件

下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进

行分析.

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识

来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.

7.2古典概型

1、古典概率

1.随机事件的概率

对于一个随机事件A,我们通常用一个数尸(力)(0WPC4)W1)来表示该事件发

生的可能性的大小,这个数就称为随机事件力的概率.概率度量了随机事件发生

的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.

2.古典概型

(1)古典概型的定义：一般地，若试验£具有如下特征：

①有限性：试验后的样本空间Q的样本点总数有限,即样本空间Q为有限

样本空间;

②等可能性：每次试验中，样本空间。的各个样本点出现的可能性相等.

则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率计算公式：如果样本空间O包含的样本点总数为力随

机事件4包含的样本点个数为加，那么事件Z发生的概率为

,}/包含的样本点个数m

/⑼=O包含的样本点总数=二

思考(1)“在区间［0,10］上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”

这个概率模型属于古典概型吗？

(2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概

型吗？

［提示］(1)不属于古典概型.因为在区间［0,10］上任取一个数，其试验结

果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.

(2)不一定.还必须满足每个样本点出现的可能性相等，才属于古典概型.

疑难解惑

□类型1古典概型的判断

【例1】(1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点

落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？

为什么？

(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验

的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和

命中0环(即不命中).你认为这是古典概型吗？为什么？

［解］(1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点.试验的所有可能结果是

无限的.因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但这个试验不是古典概

型.

(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中

1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型.

「........反C®领悟.............................

判断一个试验是古典概型的依据

判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征一一有限性

和等可能性，二者缺一不可.

U类型2利用古典概型公式求概率

【例2】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2

道题解答.试求：

(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率.

［解］(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.

任取2道题，

这个试验的样本空间为。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15

个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率.

用力表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则［={(1,2),(1,3),

(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点，所以0(/)=2=(.

(2)由⑴知试验的样本空间共有15个样本点，用6表示“所取的2道题不

是同一类题”这一事件，则8={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),

O

(4,5),(4,6)},共包含8个样本点，所以以8)=/.

15

厂........反廊领悟.........--

求解古典概型概率“四步”法

II类型3较复杂的古典概型的概率计算

【例3】某儿童乐园在"六一”儿童节推出了一项趣味活指针

动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待

转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别y/Qy

为x,卜奖励规则如下：

①若犯£3,则奖励玩具一个；②若孙28,则奖励水杯一个；③其余情况

奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

［解］用数对(X,力表示儿童参加活动先后记录的数，

则样本空间Q与点集S={(x,y)keN,y£N,1WXW4,1WZ4}一—对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,所以样本点总数/7=16.

(1)记“xjW3”为事件4则事件/包含的样本点个数共5个，

即4={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}.

55

所以尸储)=奇，即小亮获得玩具的概率为左.

1616

(2)记“打28”为事件8,“3VxyV8”为事件C

则事件8包含的样本点共6个，即6={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),

(4,4)}.所以尸(.=■=，

168

事件。包含的样本点个数共5个，即。={(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),

(4,1)).

所以凡。==因为［>己，

1b816

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

［母题探究］

1.在本例中求小亮获得玩具或水杯的概率.

［解］用数对(％力表示儿童参加活动先后记录的数，

则样本空间。与点集S={(x,y)IxGN,y£N,1WXW4,一—对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,

所以样本点总数〃=16.

记“小亮获得玩具或水杯”为事件反

则事件少包含的样本点个数共11个，

即E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),

(4,3),(4,4)}.

所以P(£)

2.在本例中奖励规则改为：

①若3<x+j<5,则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具

的概率.

［解］用数对(x,0表示儿童参加活动先后记录的数，

则样本空间Q与点集S={(x,力|x£N,yGN,1WXW4,一—对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,

所以样本点总数〃=16.

记"3Wx+j<5”为事件D,

则事件〃包含的样本点个数共9个，

即3{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)).

9

所以尸(〃)=—

16

厂........反G®领悟.............................A

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和计算公式.但是这类问题的

解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：

(1)试验必须具有古典概型的两大特征一一有限性和等可能性.

(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图

等列出所有样本点.

2、古典概型的应用

互斥事件的概率加法公式

(1)在一个试验中，如果事件/和事件6是互斥事件，那么有/(4+个=P(/)

+M,这一公式称为互斥事件的概率加法公式.特别地，m=1-^(7).

(2)一般地，如果事件4,旗…，4两两互斥，那么有尸(4+4+…+4)

=。(4)+尸(4)+•••+尸(4).

思考氐(1)设事件4发生的概率为P(4),事件8发生的概率为尸(8),那么事

件4+8发生的概率是P(A)+P(而吗？

(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记“其中至少

有3名女同学”为事件4那么事件/的对立事件7是什么？

［提示］(1)不一定.当事件力与6互斥时，产储+0=。(用+尸(而；当事件

4与6不互斥时，户(Z+而WPG4)+尸(0.

(2)事件力的对立事件7是“其中至多有2名女同学”.

疑难解惑

□类型1互斥事件的概率加法公式及应用

【例1】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、

1个绿球.从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取

法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取1球有12种取法.

QQ

任取1球得红球或黑球的概率为8=府=不

JL44

(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有

2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为<一,=7.

JL乙JL乙

法二：(利用互斥事件求概率)

记事件4=｛任取1球为红球｝，A2=｛任取1球为黑球｝,

54

4=｛任取1球为白球｝，4=｛任取1球为绿球｝，则尸(4)=—,尸储2)=—,

•L乙<1乙

21

尸(4)=逐，0(4)=区.

根据题意知，事件4,4,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

543

尸(4U4)=尸(4)+尸(4)=12+12=4,

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

54211

产(4U4U4)=尸(4)+尸(4)+尸(4)

1■乙JL乙■1乙1•乙

法三：(利用对立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,

即4U4的对立事件为4U4,所以取得1球为红球或黑球的概率为

2193

尸(4U4)=1一尸(4U4)=1一尸(4J一尸(4)=1—Tz—7z=77-=j.

J■乙LLJ乙X

(2)4U4U4的对立事件为4,所以尸(4U4U4)=1一尸(4)=1—上

「........反c®领悟.............................

概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(AU切=尸(用+尸(而是一个非常重要的公

式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分

拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果.

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立

事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式尸(4)+

尸(7)=1,求出符合条件的事件的概率.

□类型2“放回”与“不放回”问题

【例2】从含有两件正品a”a2和一件次品，的三件产品中，每次任取一

件.

(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的

概率；

(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概

率.

［解］(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组

成的样本点有6个,即的,刈),(si>力，3,Si),3,力，(b,ai),成a2).其

中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产

品.总的事件个数为6,而且可以认为这些样本点是等可能的.

用力表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，

所以4={(a”6),(a”b),(b,a),(b,a2)}.

49

因为事件4由4个样本点组成，所以/(/)=£=*

63

(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a,a),(a,a)，(a,

t>),(a?,<2i),(a2,32),(4，6)，(b,a),(b,32),(b,6),共9个样本点组

成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可

能的.用8表示“恰有一件次品”这一事件，则6={3，6),(a2,6),(b,a),

4

(b,a?)}.事件8由4个样本点组成，因而夕㈤=§.

「.......反c®领悟..............................

解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以

看做是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必

须一致，否则会产生错误.

(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同,

所以3，6),(b,4)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回

抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.

□类型3建立概率模型解决问题

【例3】有4B,C,〃四位贵宾，应分别坐在a,b,c,d四个席位上,

现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐.

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率.

［解］将4B,C,〃四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

一

一国一C—ID

一叵一国

一回一回「因一回

0-一叵一国-一回一

一回一国

一国一国

一国-一m一国一国一

—0—［H-0—0

一回•—回-0-0

-0-

一同一国一回一回

-0—0一回一国

回

一回一区1-0-0

一回一国-0—@

一回-—0—

—0—0-0-0

如图所示，本题中的样本点的总数为24.

(1)设事件力为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件4只包含1个

样本点，所以/储)=(.

(2)设事件6为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件6包含9

93

个样本点，所以尸(皮

=7T=go.

［母题探究］

1.求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.

［解］设事件。为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件。包含8

O1

个样本点，所以尸(0=^7=n-

2.求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率.

［解］法一：设事件〃为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件

E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件£包含6个样本点，则〃=/

1/?

十£且事件A与£为互斥事件，所以P⑦=0(4+而=以力)+尸(£)=—+—=

7

24-

法二：设事件〃为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上"，则力=8+

317

C,所以尸(功=1—P(B+。=1一尸(0—P(。=1—［―彳=▽.

oo

「.......反G®领悟..........................

1.当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们

可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树状图可以清

晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.

2.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点

用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个

数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的

解决带来方便.

7.3频率与概率

1.概率的概念和性质

(1)概率的定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件力发

生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件力发生的频率具有稳定性.这

时，把这个常数叫作随机事件力的概率.

(2)记法：皿.

(3)范围：ow/a)wi.

2.频率与概率的关系

概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似.概率从

数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.

思考,(1)向上抛掷一枚均匀的硬币100次，其中正面向上的有53次，则在

本次试验中硬币正面向上的频率是多少？抛掷一枚硬币，正面向上的概率是多

少？

(2)同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？

(1)在本次试验中硬币正面向上的频率是面，抛掷一枚硬币，正面

向上的概率是g.

(2)概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个

量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同

条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的.

疑难解惑

n类型1概率的意义

【例1】解释下列概率的含义.

(1)某厂生产产品的合格率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.

［解］(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”，说明该厂产品合格的可能性

为90%,也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的.

(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是

说，若有100人参加抽奖，大约有20人中奖.

厂.......反廓领悟.........--

三个方面理解概率

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件力的本质属性，随

机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.

(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机

的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.

(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从

全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.

口类型2概率与频率的关系及求法

【例2］下面是某批乒乓球质量检查结果表:

抽取球数5010020050010002000

优等品数45921944709541902

优等品出现的频率

⑴在上表中填上优等品出现的频率；

(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？

［解］⑴如下表所示：

抽取球数5010020050010002000

优等品数45921944709541902

优等品出

0.90.920.970.940.9540.951

现的频率

(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.

「.......•反G®领悟............................

如果随机事件4在〃次试验中发生了加次，则当试验的次数〃很大时，可以

将事件A发生的频率£作为事件A的概率的近似值.

D类型3概率的简单应用

【例3】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶

4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理

完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高

气温不低于25℃,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量

为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计

划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

[10,15

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为H单位：元).

当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出V的所有可能值，并估计

Y大于零的概率.

［解］(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于

25℃,由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为2+12+36=0.6,所以这

种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25C,则1=6X450—4X450=900；

若最高气温位于区间区0,25),则7=6X300+2(450-300)-4X450=300；

若最高气温低于20℃,则1=6X200+2(450-200)-4X450=-100.

所以，Y的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20°C,

由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为西土告上=0.8,

因此F大于零的概率的估计值为0.8.

［母题探究］

1.估计六月份这种酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率.

［解］这种酸奶一天的需求量不低于300瓶，当且仅当最高气温不低于

3^4-25+7+4

20℃,由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为——go=0.8,所

以这种酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率的估计值为0.8.

2.把本例⑵中“六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶”改为“六月份这

种酸奶一天的进货量为300瓶”，写出V的所有可能值，并估计V大于500的概

［解］当这种酸奶一天的进货量为300瓶时，

若最高气温不低于20℃,则Y=6X300—4X300=600；

若最高气温低于20℃,则卜=6*200+2(300—200)-4X300=200.

所以,Y的所有可能值为600,200.

Y大于500当且仅当最高气温不低于20°C,

由表格数据知，最高气温不低于20C的频率为36+2?：7+4=0.8,

因此V大于500的概率的估计值为0.8.

厂........反c®领悟......

用频率估计概率的步骤：

⑴进行大量的随机试验得频数.

(2)由频率计算公式£(心=小，得频率.

n

⑶由频率与概率的关系，估计概率值.

7.4事件的独立性

相互独立事件的概念和性质

事件/(或而是否发生对事件8(或4)发生的概率没有影响,这样的

定义

两个事件叫作相互独立事件

计算两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的

公式积，即P(AS)=P(心

性质如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样

的两个事件仍然相互独立.即当事件46相互独立时，则事件/

与事件下相互独立，事件7■与事件8相互独立，事件，与事件下相

互独立

思考(1)事件力与3相互独立可以推广到〃个事件的一般情形吗？

(2)公式P{AB)=P(A)P⑦可以推广到一般情形吗？

［提示］(D对于〃个事件4,4,…，4,如果其中任何一个事件发生的概

率不受其他事件是否发生的影响，则称事件4,4,…，4相互独立.

(2)公式亚力®=P(用/(而可以推广到一般情形：如果事件4,4,…，4

相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即

产(4也…4)=0(4)0(4)…2(4).

疑难解惑

□类型1相互独立事件的判断

【例1】判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件.

(1)掷一枚骰子一次，事件.%“出现的点数为奇数”；事件必“出现的点

数为偶数”；

(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B-.“出现3点或6

点”.

［解］(IL.•二者不可能同时发生，二"与”是互斥事件.

(2)样本空间为。={1,2,3,4,5,6},事件《={2,4,6},事件8={3,6},事

件AB={6},

3121111

，0(/)=£=5，尸(而=3=可，P(AB)=7=0Xn»即0(4而=尸(力)尸(③.

6263623

故事件［与3相互独立.当“出现6点”时，事件48可以同时发生，因

此46不是互斥事件.

厂......反卵领悟...........一

判断事件是否相互独立的方法

(1)定义法：事件48相互独立=0(力而=/(4•P(面.

(2)利用性质：力与8相互独立，则/与下，7与B,7与7也都相互独立.

II类型2相互独立事件概率的计算

【例2】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被

931

选中的概率分别为‘j,鼻，且各自能否被选中互不影响.

543

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求3人中至少有1人被选中的概率.

93

［解］设甲、乙、丙能被选中的事件分别为儿B