专题3旋转中的全等对角互补模型八年级数学下册聚焦课本培优专题训练讲义

专题3专题3旋转中的全等对角互补模型知识梳理知识梳理对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等或相似三角形的证明、倒角的计算（八字倒角、对角互补的四边形的外角等于内角的对角、角的加减等）、线段数量关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，无论是在校内考试、还是中考中一直都是热门考点。对角互补模型在八年级陆续就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以解答题的题型进行考察。此时是利用构造全等进行解决问题。九年级时会利用构造相似进行解决问题。模型分析模型.对角互补模型模型分析对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。常见的对角互补模型：含90°90°对角互补模型、120°60°对角互补模型、（）对角互补模型。解题策略：对角互补模型最常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等或相似三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等或相似.解题思路：在对角互补模型的应用中，我们可以利用角平分线的性质来做垂线，从而构造出全等三角形。这种方法在解决几何题时非常有用，因为它可以帮助我们找到已知条件与未知条件之间的联系，从而更快地解决问题。模型展示模型、旋转中的对角互补模型模型展示全等异侧型—90°（共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型）条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.【证明】如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN(角平分线上的点到角两边的距离相等)，在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º，又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN，∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；∴，∴结论③成立.全等同侧型—90°（斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型）条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学XK]结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.【证明】如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形，∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，∴CD＝CE，结论①成立；在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立；3）全等同侧型—60°和120°（等边三角形对120°模型）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.【证明】如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º，∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG(ASA)，∴CD＝CE，结论①成立；在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立；，结论③成立.4）全等异侧型—60°和120°（等边三角形对120°模型）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.【证明】如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N.由角平分线性质可得CM＝CN，在四边形ONCM中，∠MCN＝60°，∵∠DCM+∠MCE=∠ECN+∠MCE=60°∴∠DCM=∠ECN，∴△DCM≌△ECN（ASA）,∴CD=CE，结论①成立；在Rt△COM和Rt△CON中，∠COM=∠CON=60°，∴OM=ON=OC，又∵DM=EN=ODOM=OE+ON=ODOC=OE+OC，∴OD－OE＝OC，在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC，结论②成立；，结论③成立.5）全等型（对模型）条件：如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.【证明】如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立，在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·cosα，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cosα，结论③成立.经典例题精析【典型例题】如图1，，平分，以为顶点作，交于点，于点E.（1）求证：；（2）图1中，若，求的长；经典例题精析（3）如图2，，平分，以为顶点作，交于点，于点.若，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）OD+OE=；（3）【分析】（1）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG≌△CEH，从而求解；（2）根据全等三角形的性质得到OD+OE=2OH，然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；（3）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG≌△CEH，从而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性质求得OH=,CH=从而求得三角形面积，使问题得到解决．【详解】解：（1）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180︒∵∠CDG+∠CDO=180︒∴∠CDG=∠CEO在△CDG与△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴(2)由（1）得△CDG≌△CEH∴DG=HE由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH设OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC2∴∴(舍负)∴OH=∴OD+OE=2OH=（3）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH∵,∴∠CDO+∠CEO=180︒∵∠CDG+∠CDO=180︒∴∠CDG=∠CEO在△CDG与△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴DG=HE由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2=【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.典型典型例题例1、如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】A.【分析】根据平行四边形的性质，得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，进而得到CB＝BE，∠BCE＝∠BEC，设∠EAB的度数为x，列式计算即可．【详解】解：∵▱ABCD，∠D＝105°，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，CB＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，设∠EAB的度数为x，则：∠EBA＝x，∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝2x，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝75°﹣x，∴2x＝75°﹣x，∴x＝25°，∴∠BAC＝25°；故选A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．例2、如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A.【分析】（1）设∠1＝x度，把∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，∠4＝（x+60）度，∠3＝60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；（2）根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC＝∠E＝60°，∠CDA＝120°﹣60°＝60°，可知DC平分∠BDA；（3）由②可知，∠BAC＝60°，∠E＝60°，从而得到∠E＝∠BAC．（4）由旋转可知AE＝BD，又∠DAE＝180°，DE＝AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC＝DE＝DB+BA．【详解】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、圆周角定理等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．例3、如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正确，，定值，故③正确，定值，故②正确，的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．例4、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，∠AED和∠AGD互补，若S△ADG＝40，S△AED＝22，则△EDF的面积为9．【答案】9.【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得DF＝DH，再证明Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），Rt△DFE≌Rt△DHG（AAS），根据全等三角形的性质进一步即可求出△DEF的面积．【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，AD=ADDF=DH∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，∵∠AED和∠AGD互补，∴∠AED+∠AGD＝180°，∵∠AED+∠FED＝180°，∴∠AGD＝∠FED，∵DF⊥AB，DH⊥AC，∴∠EFD＝∠GHD，在Rt△DFE和Rt△DHG中，∠FED=∠AGD∠EFD=∠GHD∴Rt△DFE≌Rt△DHG（AAS），∴S△DEF＝S△DHG，∵S△ADG＝40，S△AED＝22，∴2S△EDF＝S△ADG﹣S△AED＝18，∴S△EDF＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．例5、如图，在四边形中，于，则的长为__________【答案】【分析】过点B作交DC的延长线交于点F，证明≌推出，，可得，由此即可解决问题；【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．例6、如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°60°90°90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．例7、(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=8，求四边形ABCD的面积；(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M，N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．【答案】（1）32；（2）.【分析】（1）根据∠ABC=∠ADC=90°可得∠BAD+∠BCD=180°，即可得到点A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，易得△ADE≌△CDF，即可得到答案；（2）过A作AD⊥OB，AE⊥OC，根据角平分线定理及三角函数即可得到AD=AE=AOsin60°，在OC上取一点F使EF=DM，即可得到【详解】（1）解：过D作DE⊥AB，DF⊥BC，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，∵AD=CD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=BDsin在△ADE与△CDF中，AD=FD∴△ADE≌△CDF(HL∴AE=CF，∴AB+BC=BE+BF，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，∴四边形BCDE是正方形，∴AB+BC=BE+BF=ED+FD=82∴四边形ABCD的面积为：S=1（2）解：过A作AD⊥OB，AE⊥OC，∵OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，AD⊥OB，AE⊥OC，∴AD=AE=AOsin在OC上取一点F使EF=DM，在ΔADM与ΔAD=AE∴△ADM≌△AEF(SAS∴∠MAD=∠FAE，∵∠OAD=∠OAE=30°，∴∠MAD+∠NAE=30°，∴∠DAN=30°，∴OM+ON=2OD+DM+EN=2OD+FN，∴当FN最小时，OM+ON最小，此时OM+ON=100+2003∴最小面积为：S=1【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例8、问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“45°，60°”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．

(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同学从P点分别向OA，OB作垂线PE，PF，由此得到正方形OFPE，与△PED全等的三角形是________；(2)【问题探究】如图②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，OC=2，求OP的长；(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，∠PCD=30°，对角线AC，BD交于点O，连接OP，且OP=6+2【答案】（1）△PFC；（2）3；（3）16.【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得∠PED=∠PFC=∠AOB=90°，PE=PF，进而得四边形OFPE是正方形，再根据角的等量代换得∠EPD=∠FPC，利用ASA可证得△PED≌△PFC，进而可求解．（2）过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线的性质可得PM=PN，利用HL证得Rt△OPM≌Rt△OPN，进而可得OM=ON，再利用ASA证得△PMD≌△PNC，进而可得DM=NC，设DM=a，则DM=NC=a（3）延长PC到Q，使CQ=DP，连接OQ，根据正方形的性质可得∠DOC=90°，OC=OD，利用SAS得△ODP≌△OCQ，进而可得OP=OQ=6+2，∠DOP=∠COQ【详解】（1）解：∵PE⊥OA，PF⊥OB，且OP平分∠AOB，∴∠PED=∠PFC=∠AOB=90°，PE=PF，∴四边形OFPE是正方形，∴∠FPE=90°，∵∠DPC=90°，∴∠EPD+∠DPF=∠FPC+∠DP=90°，∴∠EPD=∠FPC，在△PED和△PFC中，∠EPD=∠FPCPE=PF∴△PED≌△PFC(ASA故答案为：△PFC．（2）如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，如图：

∵OP平分∠AOB，∴PM=PN．∵OP=OP，∴Rt∴OM=ON．在四边形OCPD中，∠OCP+∠CPD+∠PDO+∠AOB=360°，且∠AOB=120°，∠CPD=60°，∴∠PDO+∠OCP=180°．∵∠PDO+∠PDM=180°，∴∠PDM=∠OCP．又∵∠PMD=∠PNC=90°∴△PMD≌∴DM=NC．∵OD=1，OC=2，设DM=a，则DM=NC=a，OM=ON=a+1．∴OC=2a+1=2，解得，a=1∴ON=2−1在Rt△OPN中，∠ONP=90°，∠PON=∴∠OPN=30°∴OP=2ON=2×3（3）如图，延长PC到Q，使CQ=DP，连接OQ．如图：

在四边形OCPD中，∠OCP+∠CPD+∠PDO+∠DOC=360°，且∠CPD=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DOC=90°，OC=OD．∴∠OCP+∠PDO=180°．又∵∠OCP+∠OCQ=180°，∴∠PDO=∠OCQ．∴△ODP≌∴OP=OQ=6+2∵∠COP+∠DOP=90°，∴∠POQ=∠COP+∠COQ=90°．∴△POQ是等腰直角三角形．由勾股定理，PQ=2在Rt△CPD中，∠PCD=30°，设DP=CQ=x，由勾股定理，PC=∴PQ=PC+CQ=3∴3∴x=2．∴CD=2DP=2×2=4．∴S【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键．例9、如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）5.【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝12∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，AE＝AG∠EAF＝∠GAF∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，∵∠EAF＝12∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝12∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，AE＝AE′∠EAF＝∠E′AF∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝EC2+D'故答案为：5．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例10、在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=2【答案】(1)AM=2【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝2，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=BD=DC，∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°，∵AB=2，∴AD=BD=DC=2∵∠AMN=30°，∴∠BMD=180°−90°−30°=60°，∴∠BMD=30°，∴BM=2DM，由勾股定理得，BM2−D解得，DM=2∴AM=AD−DM=2（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF=90°，∴∠BDE=∠ADF，在ΔBDE和ΔADF中，{∠B=∠DAFDB=DA∠BDE=∠ADF∴ΔBDE≌ΔADF(ASA)∴BE=AF；（3）证明：过点M作ME//BC交AB的延长线于E，∴∠AME=90°，则AE=2AB，∴ME=MA，∵∠AME=90°，∠BMN=90°，∴∠BME=∠AMN，在ΔBME和ΔAMN中，{∠E=∠MAN∴ΔBME≌ΔAMN(ASA)，∴BE=AN，∴AB+AN=AB+BE=AE=2【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．课后专题练课后专题练练1、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=2，Q为CD①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A.【分析】根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出∠BPC＝∠BQC，根据∠PBC＝∠PQD，过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE＝PE＝PM＝AM＝DF＝1，证△BEP≌△PFQ，推出PE＝FQ＝1，BP＝PQ，求出DQ、DC，即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCQ＝90°，∵PQ⊥PB，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B、C、Q、P四点共圆，∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，∴四边形AMPE是正方形，∴AM＝PM＝PE＝AE，∵AP=2∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（2）2，解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，∴DF＝1，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，则BE＝PF＝a﹣1，∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，在△BEP和△PFQ中∠EBP=∠FPQBE=PF∴△BEP≌△PFQ（ASA），∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；∴DQ＝1+1＝2，∵Q为CD中点，∴DC＝2DQ＝4，∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．练2、如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．练3、如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．【答案】（1）（4）【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）．【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．练4、如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，设BE=a，则DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．练5、如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．【答案】【分析】过O作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC交CB的延长线于点F，可证平行四边形OECF是正方形，由“HL”可证Rt△BOF≌Rt△AOE，可得BF=AE，即可求解。【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=；即BC+AC=.【点睛】本题考查了全等三角形额判定和性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键。练6、如图，正方形ABCD的边长为2，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点H，点G为BF中点，则有下列结论：①∠DEH与∠DFH一定互补；②FB可以平分∠AFC；③当E运动到AD中点时，GH=5④当AH+BH=6时，四边形HEDF的面积是1其中正确的有①③④.（填写序号）【答案】①③④【分析】根据全等三角形的判定与性质，正方形性质，得出△ABE≌△DAF（SAS），且其对应角相等，又根据∠DEH与∠AEH互补，推出∠DEH与∠DFH互补，判断①；假设FB平分∠AFC，得出BH＝BA，这显然不可能，以此判断②；当F运动到CD中点时，根据有股定理求得BF，根据G为BF中点，可判断③，根据△ABE≌△DAF（SAS），可得到S四边形HEDF＝S△AHB，当AH+BH=10，根据完全平方公式（AH+BH）2＝AH2+BH2+2AH•BH＝10，可得AH•BH【详解】解：①由题意可知，AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AEH＝∠DFH，∵∠DEH与∠AEH互补，∴∠DEH与∠DFH互补，故①正确．②∵∠DFH+∠EAH＝90°，且由①知，∠AEH＝∠DFH，∴∠AEH+∠EAH＝90°，∴∠AHE＝∠AHB＝∠BHF＝90°，假设FB平分∠AFC，∵∠C＝∠BHF＝90°，∴BC＝BH，∴BA＝BH，这显然不可能，∴FB不可能平分∠AFC，故②不正确．③当E运动到AD中点时，点F是CD的中点，∴FC＝1，在Rt△BCF中，由勾股定理得，BF=B在Rt△BHF中，G为BF的中点，∴GH=1故③正确．④∵△ABE≌△DAF（SAS），∴S四边形HEDF+S△AHE＝S△AHB+S△AHE，∴S四边形HEDF＝S△AHB，∵AH+BH=10∴（AH+BH）2＝AH2+BH2+2AH•BH＝10，又∵AH2+BH2＝AB2＝4，∴AH•BH＝3，∴S△AHB=1故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，关键是能根据正方形的性质找到全等的条件，利用三角形全等的性质和勾股定理解决问题．练7、如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键.练8问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解题；探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解题；探究延伸2：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明△BGF≌△BEF，可得GF=EF，即可解题；实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE=90°∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=12∴∠CBG+∠CBF=12即∠GBF=12在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，BC=BA∠BCG=∠BAE∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=12∴∠CBG+∠CBF=12即∠GBF=12在△BGF和△BEF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+(90°70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF=AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．练9、综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．小明的思考如下：连接DQ，∵AD∥CQ，∴∠ACQ=∠DAC，（依据1）∵∠DPQ=90°，∴∠DPQ+∠DCQ=180°，∴点D、∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依据2）∴∠PDQ=∠DQP，∴DP=QP．（依据3）填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；一般结论探究(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；结论拓展延伸(3)如图2，若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边(2)成立，理由见解析(3)PQ=3【分析】（1）根据材料中的证明过程，即可得到答案；（2）连接DQ，如图1所示，由菱形的性质得到BC∥AD，从而确定点D、P、（3）如图2所示，当∠ADC=120°时，∠DCB=60°，从而由△PQC为直角三角形可分两种情况讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：①两直线平行，内错角相等，②同弧所对的圆周角相等，③等角对等边，故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：连接DQ，如图1所示：

∵在菱形ABCD中BC∥∴∠ADC+∠DCQ=180°，∠DPQ=∠ADC，∵∠DPQ+∠DCQ=180°，∴点D、∴∠DQP=∠ACD，∠ACB=∠PDQ，∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD，∴∠PDQ=∠DQP，∴DP=PQ；（3）解：PQ=3由于点P为对角线AC上一个动点，分两类情况讨论如下：①当∠PQC=90°时，如图2所示：

∵在菱形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=120°，∴∠DAC=∠ACD=180°−∠ADC∵BC∥∴∠ACQ=∠DAC=30°，∴∠CPQ=90°−∠ACQ=60°，由（2）中知点D、P、∴∠DPQ=120°，∴∠DPC=∠DPQ−∠CPQ=120°−60°=60°，∴∠ACD+∠DPC=90°，即∠CDP=90°，∴在Rt△CDP中，∠DCP=30°，则DP=∴由（2）知PQ=DP=3②当∠CAQ=90°时，如图3所示：

在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则∠ABC=120°,∠DAB=60°，∴∠ACB=∠CAB=30°,∠BAQ=∠ABQ=60°，∴点P与点A重合，由（2）可知，DP=PQ，∴PQ=AD=3，综上所述：PQ=3【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形性质、菱形性质、含30°的直角三角形三边关系、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关几何知识并灵活运用是解决问题的关键．练10、定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个准矩形的直径．如图①所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90º，则四边形ABCD是“准矩形”，记作：准矩形ABCD，其中AC是这个准矩形的直径．（1）在“平行四边形、矩形、菱形”，一定为“准矩形”的是哪个图形;（回答图形名称）（2）如图②，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图画出满足题意的所有格点D，使得ABCD是准矩形；(3)如图③所示，在准矩形ABCD中，∠BAD≠90º，线段AC的中点记为点O，连接BO、DO、BD，下列说法正确的是哪一个;(写序号)①AC⊥BD；②若AB=AD，则准矩形ABCD是菱形；③若AC平分∠DAB，则AC平分∠DCB；④△BOD是等腰三角形；⑤BD<AC;(4)如图④,在准矩形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90º,AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2,求AC的长.【答案】（1）矩形；（2）见解析；（3）③④⑤；（4）43【分析】（1）根据准矩形的定义结合平行四边形、矩形、菱形内角的度数进行分析；（2）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；（3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半解答；（4）利用三角形全等变换，将四边形割补成正方形用勾股定理即可解答，【详解】(1)矩形的四个内角都是直角，而平行四边形、菱形内角不一定有直角，所以一定为“准矩形”的是矩形，答案为：矩形.(2)

由图可知：∵∠ABC=90°，故∠D=90°∴AC2=32+42=25，故AD2+CD2=25，即：若AD=3，CD=4时，△ACD为直角三角形，若AD2=12+22=5，CD2=22+42=20,AD2+CD2=25,△ACD为直角三角形，故有两点,如图所示：(3)解：①AC⊥BD位置关系不确定，故①错误；②若AB=AD，但准矩形ABCD不一定是平行四边，所以准矩形ABCD不一定是菱形；故②错误；③∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠BCA=90°，若AC平分∠DAB，即：∠DAC=∠BAC，则∠DCA=∠BCA，即AC平分∠DCB；∴③正确④又∵OA=OB，∴OD=OB=12AC故④△BOD是等腰三角形，选项正确；⑤∵OD+OB＞BD，∴12AC+12∴AC＞BD，故⑤BD<AC选项正确；故③④⑤正确；（4）解：如图：过A点作AE⊥BC，交BC与E点，作AF⊥CD，交CD延长线与F点，又∵∠BAD=∠BCD=90º,∴四边形AEDF是矩形，∴∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，在△ABE和△ADE中∠BAE=∴△ABE≌△ADE∴AE=AF，∴矩形AEDF是正方形，∵四边形ABCD的面积是24cm2，∴正方形AEDF的面积=24cm2∴AE2=24cm，∴AC=24+24=43【点睛】本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了三角形全等、直角三角形性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第4问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键．练11、（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD．请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF，BE【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，EF=BE−FD【分析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．从而得出EF=GE（2