4.3探索三角形全等的条件（备课件）七年级数学下册系列（北师大版）

北师大版

七年级下册数学第四章

三角形

4.3探索三角形全等的条件ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形.3.已知△ABC

≌△DEF，找出其中相等的边与角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.知识回顾如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?想一想：即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．问题引入探究活动1：一个条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.一、三角形全等的判定（“边边边”）6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等探究活动2：两个条件可以吗？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o

6cm结论：（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有两条边对应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.（1）有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o探究活动3：三个条件可以吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？

先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′

,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′

=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？ABCA′B′C′想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A'C'.动手试一试文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）

“边边边”判定方法ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，几何语言：例1

如图，有一个三角形钢架，AB=AC

，AD是连接点A

与BC中点D

的支架．是说明：（1）△ABD≌△ACD

．CBDA典例精析解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点证明：∵

D

是BC中点，

∴BD=DC．在△ABD

与△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已证）AD=AD

（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形对应角相等）

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？二、三角形全等的判定（“角边角”）做一做如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？改变角度和边长，你能得到同样的结论吗?两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.归纳归

纳1.判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的两个三

角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．2.

证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，

∠A＝∠A′,AB＝A′B′，

∠B＝∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.∵例1已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.试说明：△ABC≌△DEF.要说明△ABC与△DEF全等，从条件看，已知有一边和一角相等，由AC∥DF易得相等线段的另一端点处的角相等．因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.又因为∠A＝∠D，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF(ASA)．导引：解：例2

如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.试说明：BC＝ED.要说明BC＝ED，需说明它们所在的三角形全等，由于∠B＝∠E，AB＝AE，因此需说明∠BAC＝∠EAD，即需说明∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2，易知成立．导引：因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD.在△BAC和△EAD中，因为所以△BAC≌△EAD(ASA)．所以BC＝ED.解：在说明两个三角形全等所需要的角相等时，目前通常采用的方法有：(1)公共角、对顶角分别相等；(2)等角加(减)等角，其和(差)相等，即等式的性质；(3)同角或等角的余(补)角相等；(4)角平分线得到相等角；(5)平行线的同位角、内错角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形对应角相等；(8)第三角代换，即等量代换等．总结议一议如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”中的条件吗？三、三角形全等的判定（“角角边”）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.归纳例3如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE.试说明：BE＝CF.要说明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来说明△BDE和△CDF全等．导引：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.因为CF⊥AD，BE⊥AE，所以∠CFD＝∠BED＝90°.在△BDE和△CDF中，因为所以△BDE≌△CDF(AAS)．所以BE＝CF.解：利用两个三角形全等解决问题，先根据已知条件或要说明的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什么条件，再去说明什么条件，简言之：即综合利用分析法和综合法寻找解题的途径．总结例4如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.试说明：△ABC与△DEC全等．如图，因为∠BCE＝∠ACD＝90°，所以∠3＋∠4＝∠4＋∠5.所以∠3＝∠5.在△ACD中，∠ACD＝90°，所以∠2＋∠D＝90°.因为∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，所以∠1＝∠D.在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC.解：例5我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.试说明：OE＝OF.因为在△ABD和△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD＝∠CBD.又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.在△BOE和△BOF中，所以△BOE≌△BOF(AAS)．所以OE＝OF.解：问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？四、三角形全等的判定（“边角边”）尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABC探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等动手试一试ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）画∠DA'E=∠A；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′与

△ABC

全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

（简写成“边角边”或“SAS”）．知识要点

“边角边”判定方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必须是两边“夹角”例1如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF.试说明：△ABE≌△CDF.要说明△ABE≌△CDF，已知BE＝DF，只需说明∠AEB＝∠CFD和AE＝CF即可．而∠AEB＝∠CFD由BE∥DF可得；AE＝CF由AF＝CE可得．导引：因为BE∥DF，所以∠AEB＝∠CFD.又因为AF＝CE，所以AF＋FE＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，因为所以△ABE≌△CDF(SAS)．解：例2如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.试说明：DC∥AB.根据“边角边”可说明△ODC≌△OBA，可得∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)，即可说明DC∥AB.导引：在△ODC和△OBA中，因为所以△ODC≌△OBA(SAS)．所以∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的对应角相等)，所以DC∥AB(内错角相等，两直线平行)．解：1如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE

B．AC＝DFC．∠A＝∠D

D．BF＝ECC2如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交BD，BC于点F，G.图中与△FAD全等的三角形是(

)A．△ABF

B．△FEBC．△ABG

D．△BCDB△ABC≌

（SSS）.（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.解：△ABC≌△DCB.理由如下：AB=CD,AC=BD,=（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE