二面角 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.4二面角

学习目标

1.了解二面角的有关概念,理解二面角及二面角的平面角的定义.(数学抽象)2.掌握求二面角大小的基本方法及步骤.(直观想象、逻辑推理)3.能结合图形,灵活选择方法解决与二面角有关的问题.(逻辑推理)教材认知·内化必备知识二面角1.二面角的定义及相关概念(1)半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,________________都称为一个半平面.(2)二面角:从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的____,____________叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作______,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记作______,二面角的范围为_____.其中的每一部分两个半平面棱每个半平面α-l-βA-l-B[0,π](3)二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上___________,以O为垂足,分别在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则________叫做二面角α-l-β的平面角.特别地,二面角是直角的二面角称为直二面角.(4)两个相交平面所成的角:两个相交平面所形成的四个二面角中,____________________的角.2.用向量的夹角度量二面角设平面α与β所成角的大小为θ,n1,n2为两个非零向量.(1)当n1∥α,n2∥β,n1⊥l,n2⊥l,且n1,n2的方向分别与半平面α,β的延伸方向相同,则θ=<n1,n2>.(2)当n1⊥α,n2⊥β,则θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>.任取一点O∠AOB不小于0°且不大于90°点睛

(1)当两个半平面重合时,二面角的大小为0;当两个半平面在同一平面内,且延伸方向相反时,二面角的大小为π.(2)二面角的平面角必须具备三个条件:一是“棱上”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上;二是“面内”,即角的两边必须分别在两个平面内;三是“垂直”,即角的两边必须都与棱垂直.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,顶点在棱上的不同位置所作的平面角是相等的.(3)二面角的大小θ与两个面的法向量n1,n2的夹角相等或互补,则有sinθ=sin<n1,n2>或者cosθ=±cos<n1,n2>.【质疑辨析】(1)二面角是指两个平面相交的图形.(

)提示:二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直.(

)提示:根据二面角的平面角的定义可得.(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.(

)提示:二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角或补角的大小.×√×合作探究·形成关键能力

【总结升华】1.找二面角的平面角的方法(1)定义法:由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识.(2)垂面法:作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角.(3)垂线法:三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.2.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理);(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角;(3)解三角形求角.

【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的正弦值.【解析】(1)取AB中点D,连接PD,CD,因为AP=BP,所以PD⊥AB.因为AC=BC,所以CD⊥AB,又PD∩CD=D,故AB⊥平面PCD,又PC⊂平面PCD,所以PC⊥AB.

【总结升华】用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法(1)在其中一个面内找一特殊点A,过A作另一个平面的垂线,垂足为B;(2)过