三角恒等变换中角度范围的确定方法总结讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册_第1页
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三角恒等变换中角度范围的确定方法总结人教A版必修第一册第五章第5.5节介绍了三角恒等变换.三角恒等变换解题的关键在于认真观察式子的结构特征,寻找代求式子与已知式子的关系,进而运用公式进行转换.在转换的过程中,有一点是十分重要的,就是确定角度的取值范围.只有把某个角的取值范围尽量缩小,才能得到准确结果.如何缩小角的取值范围?可以从以下几方面入手.方法1:与特殊值进行比较例1:在中,,,求.解析:由,得.由,得.则或.分析:在上述解法中,由于不清楚是锐角还是钝角,所以有两种取值,从而导致有两个结果.事实上,由可得为锐角.进一步,故.假设为钝角,由,可知.此时,矛盾.故为锐角.所以.故.显然,为了确定是锐角还是钝角,将的值与特殊值进行比较,将的值与特殊值进行比较,最终确定为锐角.例2:,,,.求.解析:易求得.由,得.又,故.由,,得,又,故,因此.从而.结合,得.由,得.结合,得.分析:将与特殊值进行比较,确定;将与特殊值进行比较,确定;将与特殊值进行比较,确定.最终确定,从而得到.例3:在中,,,求.解析:将,分别两边同时平方,再相加得,即.结合可得或.若,则为锐角.由得.又,在单调递减,所以,此时,矛盾.综上.分析:由可得或.如何取舍?观察到,与特殊值进行比较,确定.方法2:由倍角的范围确定单角的范围例4:若,,,,则解析:由得,结合得,故,且.由得,结合得.则.则又,所以.分析:首先由单角得到倍角,结合得,进一步确定单角,最终确定,.例5:已知,,,,求.解析:由,结合得,故,且.结合,可得.又,所以.故.所以.由于,,所以,故.分析:首先由单角得到倍角,结合得,进一步确定单角,最终确定,.方法3:借助三角形的性质例6:在中,,求.解析:由得.所以或.又,故,所以.分析:对于三角形而言,不管是锐角,直角还是钝角,均有.例7:在中,若,求.解析:由已知有,即,即,所以或若,则,,,结合,得.若,则,,,故.综上.分析:对分锐角和钝角两种情况讨论.若为锐角,可得,但是求出得到两个均不在该范围内;若为钝角,可得,所以.练习1:已知,为锐角,,,求.参考答案:由,,在单调递减,得.得.又,所以,则.故.练习2:在锐角中,,,求.解析:由已知有,,将两个式子分别两边同时平方再相加得.由,得.由于,所以,因此.练习3:锐角满足,则解析:因为,,,又,所以,所以,故.由得,即,.所以.上述三种方法是常见的缩小角度的方法.在实际解题中,要根据题目条件灵活处理,将角度的范围确定在合理的区间内.当然

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