【彩虹中的数学问题浅析4200字（论文）】

I彩虹中的数学问题浅析目录TOC\o"1-2"\h\u14801彩虹中的数学问题 18701一、问题的提出 18028二、前人的观察及研究 27497三、彩虹形成的条件 214932四、彩虹中的数学 329674（一）彩虹的位置中的数学 321881（二）彩虹形状中的数学 51164（三）彩虹颜色中的数学 716386五、结论与展望 710177参考文献 8摘要：雨后的天空中经常会出现色彩鲜艳的彩虹，它的形成曾使人们感到困扰。从遥远的殷商时代开始，我国就出现了虹的象形文字，之后的各个朝代，都有对彩虹的描述，包括彩虹的产生、彩虹的位置以及人造彩虹的出现。西方对于彩虹的研究从亚里士多德开始，历经费马、笛卡尔、牛顿等人，通过理论的研究以及实验的探索大致上解决了有关彩虹的一些问题，包括彩虹产生的机理以及彩虹的颜色。随着时代的发展，人们对于彩虹的认识也越来越深刻，彩虹对于人们来说也不再神秘。本文将站在前人研究的基础上，从数学的角度出发，寻找彩虹之中的数学。关键词：几何光学；偏向角；彩虹一、问题的提出“天际彩虹千丈，阑干外、泻寒玉”。雨过天晴，在和太阳相对的天空中经常会出现一道色彩鲜艳的圆弧，弧色外红内紫，有时候还可以看到两道圆弧，外面的弧色与内弧颜色排布恰好相反，外紫而内红。现在的人们会不由自主地欣赏这种大自然馈赠的美景。古时候有人说那是嫦娥在空中歌舞挥舞着的彩带，也有人说那是信使Iris所铺设的连接天地的通道，然而不管是彩带还是通道，都不过是传说罢了，没有任何的科学依据，但是其充满了古人对于美好事物的向往。其实，上述的情况只是一种常见的自然界的光学现象——彩虹。那么彩虹究竟是怎样形成的呢？二、前人的观察及研究据史料记载，早在遥远的殷商时代，我国就出现了有关虹的象形文字。东汉蔡邕在《月令章句》中这样描述彩虹：“虹见有青赤之色，常依阴云，而昼见于日衙，无云不见，太阴也不见，见辄与日相互，率以日西，见于东方。”这对彩虹的形成的条件及位置有一定的认识。唐代孔颖达在《(礼记)注疏》中写道：“若云薄漏日，日照雨滴则虹生”。沈括的《梦溪笔谈》中有写道，孙彦先云：“虹乃与中日影也，日照雨则有之”。这解释了彩虹是太阳光在水滴中折射和反射后形成的。中唐诗人张志和在他的著作——《玄真子》一书中这样描述：“背日喷乎水成霓虹之状”这就是简单的人造彩虹。亚里士多德是西方第一个试图以科学的眼光观察虹的人，他曾指出：彩虹出现在太阳离地平线较低时，而且彩虹不会出现在夏日的中午；我们可以看到两条颜色相反但形状相似的彩虹，并且外面的那条颜色比较黯淡。然而亚里士多德并未发现一个现象，那就是两条彩虹带的之间的那片区域较为黯淡。之后公元约200年的时候，才有亚历山大注意到这个现象，因此后人就将其观察到的这种现象称为“亚历山大暗带”。此后1307年欧洲人才明白苏格兰上空的双重彩虹是由于太阳光在水珠中产生了折射和反射，这比孙彦先及沈括他们迟了几百年。法国数学家费马根据他对光的反射的研究得出了“最小时间原理”。笛卡尔在1637年以充满水的玻璃球充当大水滴来进行实验，得出水对光的折射指数，用数学证明彩虹的主虹和副虹分别是阳光在水珠内经过一个反射和两次反射后再从水珠表面折射出形成的。他精准地计算出了彩虹的偏向角，但却未能解释彩虹的颜色。直至牛顿通过三棱镜将太阳光色散之后，通过对电磁波波长的研究指出了彩虹是一道由红色到紫色的连续光谱。三、彩虹形成的条件彩虹是光学中的一种自然现象，是太阳光经过水珠后发生一系列的折射和反射后生成的。因为水珠对于不同颜色的光有着不同的折射率，使得太阳光产生了色散。雨过天晴，空气中充满了细小的雨滴，这些雨滴可以看成球状水珠，如果太阳光以一定的角度射入水珠，将会在在水珠内会发生一系列的折射和反射过程，然后从水珠内射出，因为不同颜色的光的折射率不同，于是太阳光便在色散的作用下生成了各种其他颜色的光，这就是彩虹。以上的彩虹是太阳光在水珠内产生两次折射和一次反射形成的，假若太阳光在水珠内产生了两次折射和两次反射，然后从水珠射出，这样形成的彩色光带我们称之为副虹，也就是霓虹。彩虹并不是一种常见的光学现象，只有满足一定的气象条件时，它才会出现在我们的视线之中。雨后晴朗的天空中，空气中雨滴多尘少，太阳光以一定的角度射入空气中的雨滴，观察者背对着太阳以一定的角度仰视天空，才能够观察到美丽的彩虹。彩虹是阳光通过雨滴的反射和折射形成的，因为雨滴是不间断下落的，总有后面的雨滴补到之前雨滴的位置，产生相同效果的折射与反射，由于人眼的视觉暂留，前一个雨滴产生的视觉效果还没消散又有后面的雨滴补上，所以我们看到的彩虹是连续不断的。彩虹的形成后的模样与空气中雨滴的大小息息相关。雨滴愈大，彩虹的颜色便显得愈发明亮，彩虹却显得愈加狭窄；反之，雨滴愈小，彩虹的颜色便显得愈发晦暗，彩虹却显得愈加宽阔。但当雨滴小到支持不了它对太阳光进行色散、反射、折射这一系列过程时，彩虹便消散不可见了。又因为彩虹是“日照雨”形成的，所以它总是存在与太阳的对面。观察者只有背对太阳才能观察到美丽的彩虹！四、彩虹中的数学（一）彩虹的位置中的数学进入水珠后的太阳光经过一系列折射以及内反射过程后从水珠内射出，只要满足在最小偏向角处即可形成彩虹。这样我们便能看到众多的彩虹。但是，一般来说实际情况是人们最多只能观察到两条颜色排布相反的彩虹：一条是经过两次折射和一次内反射后形生成的彩虹，称之为主虹；另一条是经过两次折射和两次内反射后生成的彩虹，也就是副虹——俗称霓虹。这里本文先来讨论主虹的位置。查阅资料可知，主虹形成过程中不同光产生的角度如下：表4.1主虹形成过程中不同光产生的角度光的类别折射率IRΘmin与光轴夹角红光1.33259.47°40.29°137.78°42.22°紫光1.34158.95°39.71°139.06°40.94°太阳光4/359.39°40.20°137.98°42.02°可见，对于主虹来说，出射的光线集中于与光轴线夹角为41°到42°。一般取水对太阳光的折射率为，此时出射光线与主光轴之间的夹角为42°。图4.1对日点位置按照观察者所处的位置，将正对太阳的反方向的所在记为对日点，如图3.1所示，形成彩虹的太阳光的入射光线与出射光线之间夹角为上文计算所得的42°，人眼看到的光线与对日点之间的夹角也为42°，于是，只要从与对日点方向夹角为42°的任何一个方向观察，都能观察到美丽的彩虹。因此，我们所说的彩虹就是以对日点和人眼连线组成的一个角半径为42°的圆锥曲面。也就是说，只要是这个圆锥曲面上的任何一滴雨滴，都是形成主虹的重要组成部分。如图4.1所示，彩虹一般是在太阳在地平线以上的时候被观察到的，那么其相应的对日点应该在地平线以下。从图4.1中也可以看出，太阳越高，彩虹越低，太阳越低，彩虹越高。这也解释了为什么中午很难看到彩虹，确实实际观察到的情况就是这样的。以我国为例，上午九点到下午三点之间很少由彩虹出现，因为此时太阳所处地理位置过高，一般来说，早晨和傍晚更容易观察到美丽的彩虹。若太阳光与地面平行，则观察彩虹的仰角约为42°。以相同的视角射向眼睛的光束，必然在一个圆锥面上。因而，假设把人眼作为顶点，做一条中轴线，其平行于太阳光的方向，且经过人眼。所有与中轴线呈42°夹角的出射光线将围绕中轴线形成一个圆锥面。假使太阳光与地面不平行，如图4.1所示，围绕中轴线产生的圆锥的下部分隐藏在地势下方。所以，我们一般只能看到彩虹的一部分圆弧。但是，我们在高山或者飞机上时，就有可能看到完整的圆形彩虹。图4.2圆形彩虹（二）彩虹形状中的数学假使将人眼看成一个圆形镜头，一大束分散的光线照过来，人眼所能捕捉到的光线其实仅仅只有照到镜头上的极少的部分。如果要观察到全部的光线，不能平行照射，要将这些光线汇聚到一起。假设人眼为圆锥的顶点，彩虹作为圆锥的底面，我们要看到彩虹，彩虹的出射光线便要沿着圆锥的侧面汇聚到人眼（如图4.3所示）。从图中4.3中也可以看出，用长度去衡量彩虹是没有意义的。这时候就引入了角半径这个指标，它是用来形容彩虹的最恰当的参数。这里能够获得一个奇妙的现象——两个观察者在相邻的地点观察彩虹，然而他们观察到的彩虹却是不一样的，也就是说，每个人都有“自己的彩虹”。图4.3人眼观察的彩虹因为彩虹是太阳光通过雨点折射一反射一折射过来的光线产生的，所以我们看到的彩虹实际上是由那些与我们形成虹角的雨点组成的。这里假设人眼的所处的位置为坐标原点，建立如图4.4所示的坐标系：图4.4彩虹形状的数学解释xoy平面与太阳光线方向平行。设B(x,b,z)为彩虹上的任意一点，A（x,o,z）为经过B的太阳光线与xoz平面的交点，连接OA,OB,AB。则OAB为直角三角形，其中∠A=90°∠ABO即为前文所求的入射光线与光轴的夹角42°，记则： （4.1）所以彩虹的方程是： （4.2）从彩虹的方程表达式（4.2）中可以直观的看出，彩虹就是一个圆形的结构。（三）彩虹颜色中的数学现在流行的说法是彩虹是由赤橙红绿青蓝紫这七种颜色构成的，其实不然，彩虹是经过水滴折射后产生的连续可见光谱。彩虹就是太阳光色散后产生的现象，雨后的天空中的充满了太阳光色散的介质——雨滴。这些雨滴将太阳光色散成人眼可以观察到的可见光——波长在400纳米到700纳米之间的电磁波，但是这些可见光只是占据了整个电磁波谱的极小的一部分。图4.5可见光光谱由于不同颜色的光的波长不同，导致水对于不同颜色的光的折射率也不尽相同。相对于水对红色光的折射率而言，水对于紫色光的折射率要显得更大一些。对于主虹而言，不同颜色的光经过水珠折射后与光轴形成的夹角也不同，其中红光为42.22°，紫光为40.94°，因此，红光在上，紫光在下。五、结论与展望本毕业论文站在前人研究的基础上，通过对几何光学原理进行分析，根据费马原理推导了光的反射定律以及光的折射定律，以此为基础证明了最小偏向角的存在，建立了计算最小偏向角的公式。通过对这些基本原理、定律的推导证明进一步阐述了彩虹形成的过程，包括彩虹在天空出现的位置及其形状、色彩的分布、副虹以及亚历山大暗带的形成过程。但是本毕业论文也只是单纯地从理论角度出发分析了彩虹的成因，并没有深入研究针对彩虹现象所衍生出来的其他情况。相信随着时代的发展、理论知识的不断更新以及人们对于彩虹现象研究的进一步深入，越来越多的关于彩虹的奥秘将会呈现在人们面前。以后的研究的目标也不会单纯地放在研究彩虹本身上，而将会着力于彩虹现象所衍生出来的各类科学。参考文献[1]韩峰.虹现象的物理解释[J].河池学院学报，2010(30):28~32[2]M.Minnaert,TheNatureofLight＆ColorintheOpenAir,NewYork,Dover,(1954).174.177[3]刘景麟，