2025届高考数学一轮复习核心素养测评第10章10.3变量的相关性与统计案例含解析新人教B版

PAGE10-核心素养测评六十一变量的相关性与统计案例(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得χ2等于5，又已知P(χ2≥3.841)=0.05，P(χ2≥6.635)=0.01，则下列说法正确的是()A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”【解析】选A.依题意χ2=5，且P(χ2≥3.841)=0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.2.下面四个图中反映出回来模型的拟合精度较高的为 ()A.图① B.图② C.图③ D.图④【解析】选A.依据图中显示的分布状况即可看出，图①显示的点比较匀称地落在水平的带状区域中，所以拟合精度较高.3.(多选)“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成损害”.美国癌症协会探讨表明,起先吸烟年龄X分别为16岁、18岁、20岁和22岁者,其得肺癌的相对危急度Y依次为15.10,12.81,9.72,3.21;每天吸烟支数U分别为10,20,30者,其得肺癌的相对危急度V分别为7.5,9.5和16.6,用r1表示变量X与Y之间的线性相关系数,用r2表示变量U与V之间的线性相关系数,则下列说法错误的是 ()A.r1=r2 B.r1>r2>0C.0<r1<r2 D.r1<0<r2【解析】选ABC.由题意可知,起先吸烟年龄递增时,得肺癌的相对危急度呈递减趋势,所以吸烟年龄与得肺癌的危急度呈负相关,所以r1<0,同理可知,得肺癌的危急度与每天吸烟支数呈正相关,所以r2>0.因此可得r1<0<r2.4.为探讨语文成果和英语成果之间是否具有线性相关关系,统计两科成果得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回来直线=x+近似地刻画其相关关系,依据图形,以下结论最有可能成立的是 ()A.线性相关关系较强,的值为1.25B.线性相关关系较强,的值为0.83C.线性相关关系较强,的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无探讨价值【解析】选B.散点图里变量的对应点分布在一条直线旁边,且比较密集,故可推断语文成果和英语成果之间具有较强的正线性相关关系,且直线斜率小于1.5.(2024·南昌模拟)某公司在2015～2024年的收入与支出如表所示:收入x(亿元)2.22.64.05.35.9支出y(亿元)0.21.52.02.53.8依据表中数据可得回来方程为y=0.8x+a,依此估计2024年该公司收入为8亿元时支出为 ()A.4.2亿元 B.4.4亿元C.5.2亿元 D.5.4亿元【解析】选C.依据表中数据,计算QUOTE=QUOTE×(2.2+2.6+4.0+5.3+5.9)=4,QUOTE=QUOTE×(0.2+1.5+2.0+2.5+3.8)=2,所以=2-0.8×4=-1.2,所以回来直线方程为=0.8x-1.2,计算x=8时=0.8×8-1.2=5.2(亿元),即2024年该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·长春模拟)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示,并得到其回来直线的方程为l1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,相关指数为QUOTE.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回来直线的方程为l2:=x+0.68,相关系数为r2,相关指数为QUOTE.以下结论中,不正确的序号是________.

①r1>0,r2>0 ②QUOTE>QUOTE③=0.12 ④0<<0.68【解析】由图可知两变量呈现正相关,故r1>0,r2>0,且r1<r2,故QUOTE<QUOTE,故①正确,②不正确.又回来直线l1:=0.68x+必经过样本点的中心(3.5,2.5),所以=2.5-0.68×3.5=0.12,③正确.回来直线l2:=x+0.68必经过样本点的中心(3,2),所以2=×3+0.68,所以=0.44,也可干脆依据图象推断0<<0.68(比较两直线的倾斜程度),故④正确.答案:②7.某学校社团为调查学生课余学习围棋的状况，随机抽取了100名学生进行调查.依据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”. 世纪金榜导学号依据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料推断_________(填“有”或“没有”)95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.

非围棋迷围棋迷合计男女1055合计【解析】由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有100×0.25=25人，从而2×2列联表如下所示：非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2=QUOTE=QUOTE≈3.030，因为3.030<3.841，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.答案：没有8.下表为“民安生鲜超市”的员工工作年限x(单位:年)与平均月薪y(单位:千元)的比照表.x3456y2.53λ4.5利用最小二乘法求得y关于x的线性回来方程为=0.7x+0.35,则(4,3),(5,λ),(6,4.5),这三个样本点中落在回来直线上方的个数为______个.

【解析】由表中的数据,可得QUOTE=QUOTE=4.5,QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为样本点的中心(QUOTE,QUOTE)肯定在回来直线上,所以QUOTE=0.7×4.5+0.35,解得λ=4.故当x=4时,=0.7×4+0.35=3.15>3,所以点(4,3)在回来直线=0.7x+0.35的下方;当x=5时,=0.7×5+0.35=3.85<4,所以点(5,λ)在回来直线=0.7x+0.35的上方;当x=6时,=0.7×6+0.35=4.55>4.5,所以点(6,4.5)在回来直线=0.7x+0.35的下方.综上,三个样本点中落在回来直线=0.7x+0.35上方的有1个.答案:1三、解答题9.(10分)(2024·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回来模型.依据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;依据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值.(2)你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠?并说明理由. 世纪金榜导学号【解析】(1)利用模型①,该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预料值更牢靠.理由如下:方法一:从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的改变趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的旁边,这说明从2010年起先环境基础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的改变趋势,因此利用模型②得到的预料值更牢靠.方法二:从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预料值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预料值更牢靠.(15分钟35分)1.(5分)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成果(单位:分)对应如表:学生编号12345678数学成果6065707580859095物理成果7277808488909395给出散点图如图:依据以上信息,推断下列结论:①依据散点图,可以推断数学成果与物理成果具有线性相关关系;②依据散点图,可以推断数学成果与物理成果具有一次函数关系;③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成果为80分,乙同学数学成果为60分,则甲同学的物理成果肯定比乙同学的物理成果高.其中正确的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由散点图知,各点都分布在一条直线旁边,故可以推断数学成果与物理成果具有线性相关关系,但不能推断数学成果与物理成果具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学数学成果为80分,乙同学数学成果为60分,则甲同学的物理成果可能比乙同学的物理成果高,故③错误.综上,正确的个数为1.2.(5分)通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110由χ2=QUOTE算得，χ2=QUOTE≈7.8.可以得到的正确结论是 ()A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99.9%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99.9%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.依据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.3.(5分)在2019年3月15日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回来方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=8+QUOTE,QUOTE=QUOTE=6+QUOTE.回来直线肯定经过样本点的中心(QUOTE,QUOTE),即6+QUOTE=-3.2QUOTE+40,即3.2m+n=42.又因为m+n=20,即QUOTE解得QUOTE答案:104.(10分)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如折线图所示: 世纪金榜导学号(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?(2)通过计算推断这3年的前7个月的总利润的发展趋势.(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回来的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份x1234利润y(单位:百万元)4466相关公式:=QUOTE=QUOTE,=QUOTE-QUOTE.【解析】(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元).第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为QUOTE=2.5,QUOTE=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以=QUOTE=0.8,所以=5-2.5×0.8=3.因此线性回来方程为=0.8x+3.当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.5.(10分)(2024·珠海模拟)某种仪器随着运用年限的增加,每年的维护费相应增加.现对一批该仪器进行调查,得到这批仪器自购入运用之日起,前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如表:年份x(年)12345维护费y(万元)0.71.21.62.12.4(1)依据表中所给数据,试建立y关于x的线性回来方程=x+.(2)若该仪器的价格是每台12万元,你认为应当运用满五年换一次仪器,还是应当运用满八年换一次仪器?并说明理由.参考公式:用最小二乘法求线性回来方程=x+的系数公式:=QUOTE=QUOTE,=QUOTE-QUOTE. 世纪金榜导学号【解析】(1)QUOTE=3,QUOTE=1.6,QUOTE=9,QUOTE