《复数的几何表示》教学课例

《复数的几何表示》教学课例魏春华【教学设计】一、教材分析本节课选自高二《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》的《复数的几何表示》，是在学生学习了复数的概念和四则运算的基础上，进一步让学生感受形与数之间的和谐与统一。本节课主要向学生呈现本教材的最大特色之一是以向量为主线，把代数，几何联系起来，把向量引进复数体系，通过引进复数的向量表示，再由向量的加减法的几何意义顺理成章的获得复数加减法的几何意义其中蕴含着丰富的数学思想。本节课的教学指导思想是努力挖掘教材的内涵美妙之处，充分发挥其功能，复数的概念来自数学内部对运算与解方程的需要，它的几何表示则来自数形结合思想与坐标方法，这使得复数必然奠基于代数中运算、方程、直角坐标系、集合等知识之上，而且必然与平面几何、平面解析几何之间有着密切的联系．这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、复数的坐标表示及其加（减）运算，与向量、向量的坐标表示及其加（减）运算完美地统一了起来．使学生领悟到数学知识发生与发展过程中的思想方法和数学的和谐美、简洁美，培养精益求精的治学态度和勇于探索的精神。二、教学目标（一）知识与能力：1．了解复平面的概念，理解复数z=a+bi两种几何表示：点P(a,b)及向量；2．了解复数加减法运算的几何意义；3．了解共轭复数及复数模的定义，并会简单的运用；（二）过程与方法：通过复数运算的几何表示，复数加法与减法运算的几何意义的学习认识过程，让学生感受形与数之间的和谐与统一，体会思考问题的方式和方法，提高实践动手操作能力。（三）情感、态度与价值观：通过对复数的代数语言与几何语言相互转换的情境学习，体会解决复数问题的手段，培养学生用于创新的精神。三、教学重点与难点重点：1．复数的几何表示点P(a,b)及向量2．复数加（减）法运算的几何意义难点：1．复平面概念的建立2．复数加（减）法运算的几何意义四、教学方法通过类比启发学生的思维，探究复数的几何表示，运用转化的思想解决问题。五、教学过程【创设问题情景】在之前的学习过程中我们对复数的相关概念已经有了一定的了解，知道复数可以分为实数与虚数，而实数可以由一条数轴上的点来表示。比如我们取一条规定了方向的直线，在直线上取定一点o作为原点，取定一个单位长，则这条直线便成为一条数轴，而每个实数由数轴上的唯一一个点P来表示，当记为沿着数轴的正方向，长度等于单位的向量，则数轴上的点P与它所表示的实数的关系为，也就是说：每个实数都可以用平行于数轴的向量来表示一一对应实数点P(a,b)一一对应一一对应平面向量师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？那我们知道复数由实数和虚数构成，那我们是否可以类比得到复数的几何表示呢？（让学生在复习旧知识的同时引入新的问题，让学生带着问题开始新知识的学习。）【导入新课】师：从之前的学习中我们了解到根据复数相等的定义可知，任何一个复数都可以由一个有序的实数对来唯一确定。一一对应复数有序数对而有序数对，又像我们所学的什么呢？生：像直角坐标系上的点。师：是的，这样我们有可以把复数与直角坐标系中的点一一对应起来，一一对应复数平面直角坐标系中的点P(a,b)一一对应一一对应有序数对知识点1：复平面的概念，实轴，虚轴。例1：（1）写出在复平面内的点所对应的复数。（2）在复平面中画出所对应的点P1,P2,P3,P4。（通过这两道题，不仅巩固了复数与复平面上的点之间一一对应的关系，而且还为后面的教学打下了一个铺垫）（二）小试牛刀1.设复数z=a+bi（a,b∈R）a,b须满足什么条件，能使复数z的对应点位于：(1)x轴上(2)y轴上（不含原点）(3)第二象限(4)在直线2x+y-3=0上变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数m允许的取值范围。（通过这两题的练习，让学生会把复数在复平面内所对应的点所在象限问题转化成不等式的代数问题进行解决，在此灌输给学生转化的数学思想。）【类比】由于复数在复平面的点被唯一的确定，那么由原点出发的向量也就唯一的确定了，在此我们就可以类似得到了：一一对应复数点P(a,b)一一对应一一对应平面向量师：那我们回头看刚才的例1的第二小题，请画出这四个复数所对应的向量，并根据向量模的概念求出向量的模。生：知识点2：复数的模的定义任意复数z=a+bi在复平面上对应的向量的模称为复数的模，也称为z的绝对值，记作|z|,即点P(a,b)到原点的距离。 【观察】师：请同学们再观察z3，z4，这两个复数所对应的向量之间有什么关系？（学生在老师的提醒下很快可以发现他们关于x轴对称，两个复数实部相等，虚部互为相反数）知识点3：共轭复数的概念以及一些重要结论对于任意复数，如果保持实部a不变，虚部b变成相反数-b，得到复数称为原来复数的共轭复数。所以重要结论：（1）（2）（3）【自主探究】1.设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)∣Z∣=4(2)2<∣Z∣<4通过图形让以及向量的运算法则让他们认识到复数加减法的集合意义可以由所对应的向量的加减法来表示。知识点4：复数的加法，减法的几何意义1.两个复数的加法由对应的向量的加法来表示2.两个复数的减法由对应的向量的减法来表示3.复数与任一实数K的乘法由对应向量与K的乘法表示复数的运算转化为对应向量的运算例2、已知OPSQ为平行四边形，若P,Q分别表示复数1+4i，4+i，M是OS,PQ的交点，PQ平行且等于于OD分别求S,D,M表示的复数。变式1：已知复平面上正方形的三个顶点A，B，C所对应的复数为求第四个点D的复数变式2：已知复平面上梯形的三个顶点A，B，C所对应的复数为，且CD平行且等于2AB求第四个点D的复数课时小结：一、数学知识：(1)复数的两种几何表示(2)复数的模、共轭复数(3)复数运算的几何意义二、数学思想：(1)类比的思想(2)转化的思想(3)数形结合的思想【教学片段实录】类比学习同学们在之前的学习过程中我们对复数的相关概念已经有了一定的了解，知道复数可以分为实数与虚数，而实数可以由一条数轴上的点来表示。比如我们取一条规定了方向的直线，在直线上取定一点o作为原点，取定一个单位长，则这条直线便成为一条数轴，而每个实数由数轴上的唯一一个点P来表示，当记为沿着数轴的正方向，长度等于单位的向量，则数轴上的点P与它所表示的实数的关系为，也就是说：每个实数都可以用平行于数轴的向量来表示一一对应实数点P(a,b)一一对应一一对应平面向量师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？(生好奇)那我们知道复数由实数和虚数构成，那我们是否可以类比得到复数的几何表示呢？（生好奇）【导入新课】师：从之前的学习中我们了解到根据复数相等的定义可知，任何一个复数都可以由一个有序的实数对来唯一确定。一一对应复数有序数对而有序数对，又像我们所学的什么呢？生：像直角坐标系上的点。师：是的，这样我们有可以把复数与直角坐标系中的点一一对应起来，一一对应复数平面直角坐标系中的点P(a,b)一一对应一一对应有序数对（师演绎课件）知识点1：复平面的概念，实轴，虚轴。师：我们把这个用直角坐标系来表示复数的这个平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴例1：（1）写出在复平面内的点所对应的复数。（2）在复平面中画出所对应的点P1,P2,P3,P4。（通过这两道题，不仅巩固了复数与复平面上的点之间一一对应的关系，而且还为后面的教学打下了一个铺垫）(学生动手练习，老师巡视)师：由于复数在复平面的点被唯一的确定，那么由原点出发的向量也就唯一的确定了，在此我们就可以类似实数得到了：(师演绎课件)一一对应复数点P(a,b)一一对应一一对应平面向量【教学反思】本节课的教学指导思想是努力挖掘教材的内涵美妙之处，充分发挥其功能，复数的概念来自数学内部对运算与解方程的需要，它的几何表示则来自数形结合思想与坐标方法，这使得复数必然奠基于代数中运算、方程、直角坐标系、集合等知识之上，而且必然与平面几何、平面解析几何之间有着密切的联系．所以学习这部分知识，将是对代数、平面几何、平面向量、平面解析几何中有关内容的一次复习、巩固和应用．复数的加法、减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形成三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、复数的坐标表示及其加（减）运算，与向量、向量的坐标表示及其加（减）运算完美地统一了起来．使学生领悟到数学知识发生与发展过程中的思想方法和数学的和谐美、简洁美，培养精益求精的治学态度和勇于探索的精神。这节课的课题是：类比探究，自主学习，想让学生在学习了类比推理的情况下从已有的旧知识类比得到今天的新知识。通过类比实数的几何性质来得到复数的几何性质。本节课设计的亮点：1．新的课改理念倡导学生的“合作探究”意识与教师的“开放式”教学意识，在这两种基本理念下，在教师引导下由学生自己去添加条件或改变条件演变成新的题情，环环相扣，步步为营。2．通过PPT的演示，同学们对问题有一个较为直观的视觉感受，从而扫清了在这一知识形成过程中的思维障碍，整个思维和知识形成过程构成了一个完美的统一体。这种教学氛围的营造，使学生在旧知识温故中，发现了打开新知识宝库大门的钥匙。3．想达到的目的：通过师生共同探索复数的代数形式、坐标表示、向量表示及其应用，既能体现数形结合这一重要思想，同时也能体会数系发展的必要性。在此过程中还渗透了类比和转化的数学思想。4．不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数、向量、解析几何完美地统一了起来.本节课通过教学让学生进一步了解了复数数系扩充的意义，知道了复数的两种几何表示，以及复数模和共轭复数的几何表示，还有复数加减法的几何表示。在整堂课的教学中我一直以类比实数的几何表示为主线，让学生探究得到今天所要学习的知识。实现了我在课题中所提到了类比探究的这部分亮点，使得学生在学习新知识时比较容易接受。教学中的不足：1．我们总是在讲要突出重点分散难点，可是如果不知道重点和难点具体是什么，如何采取行之有效的方法来突出重点和分散难点？最后进行课堂总结的学生对复数的几何意义，不能够一针见血地指出来，我问自己，这个问题有没有复杂到学生当堂不能够理解记忆呢？是不是有什么方法让学生对复数的几何意义一目了然呢？后来我试验了一下，z=a+bi(a,b为实数)注明代数形式，而Z(a,b)和向量OZ用同色的彩笔注明几何意义，再小结的时候学生就可以很容易得到答案了。2.课堂节奏。在这次公开课的点评中，有老师提到我的上课节奏太快，显得很紧凑，但是显得课容量偏大了，所以一开始也是自己怕上不完，有点赶，节奏上偏快。3．在文字语言的叙述特别是连接词上要加强，数学语言，尤其要注重准确严密，一针见血，要么不说，要么就说在点子上，这需要斟酌课堂上的每一句教学语言，需要长期坚持不懈的努力！【同行点评】1．本节课借助ppt课件，将原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通熟易懂，同时，运用“多媒体课件