MATLAB小波分析与图像压缩的文献翻译

摘要小波分析提供了一种强大的和非常灵活的工具集，来处理在科学和工程方面基本的问题，比如音频消噪、信号压缩、目标探测和指纹压缩、图像去噪、图像增强、图像识别、诊断心脏病和语音识别等等。在这里,我们要集中精力解决应用程序领域的小波图像压缩,以观察如何实现小波变换的应用到一个图像压缩的过程中,如何利用数学方面的小波影响压缩的过程和结果。小波图像压缩的小波进行各种已知与不同的数学性质。我们研究的见解如何实现小波在数学的方式来适应图像压缩的工程模型。1介绍小波函数,允许数据分析的信号或图像,根据鳞片或决议。处理的信号,通过小波算法在factworks一样的人类的眼睛并;或数码相机处理视觉尺度的决议,以及中间的细节。但同样的原则也抓住了手机信号,甚至数字化彩色图像用于医药。小波是真正的使用在这些领域,例如在逼近数据与剧烈波动如波涛汹涌的信号,或者图片,大量的边缘。小波也许一章函数论,我们证明了算法,结果是关键的处理数字,或更准确的信息的数字化、信号时间序列,电影,颜色,图片等等。因此,应用小波变换的想法包括大的部分对信号和图像、数据压缩、指纹编码,和其他很多领域的科学和工程。本论文重点对彩色图像的处理与使用定制的设计小波算法,和数学阈值过滤器。尽管有最近的一系列文章,对小波算子理论,需要一个教程这解释了一些应用往往从起步到运营商理论家。小波分析作为一门学科是高度跨学科和它吸引了至关重要的途径从外部世界的想法。我们的目的是列出各种希尔伯特空间几何之间的联系和图像处理。因此,我们希望能帮助学生和研究人员从一个地区了解正在进行中的其他。沟通的困难之一是一个巨大的地区差异在术语、行话、数学术语。有亲自动手实验,我们的报纸是为了帮助创造一个更好的了解,双方之间的联系,数学和图像。这是一个微妙的平衡决定包含什么。在选择我们所想要的学生在算子理论,强调解释,不容易找在《文学。我们的论文结果扩展以前是已知的,我们希望收益率新的见解的缩放和表示的彩色图像;特别是,我们已经为更好的算法。最后对一组计算机生成的图像以说明我们的想法和我们的算法,并使用生成的图像压缩1.1综述小波图像处理使计算机存储图像在许多规模的决议,因此图像分解成不同层次和类型的细节和近似具有不同价值的决议。因此,使其能够放大,以获取更多细节,树木的叶子,甚至一只猴子在树顶。小波图像压缩允许使用更少的存储空间和更详细的图像。作为数学上3.3所示,一个图像可以分解成近似、水平、垂直和对角的细节。N分解层级的完成。在那之后,量化工作是在分解的图像位置不同的量化也许做不同的组件,从而最大限度地发挥需要的数量细节和忽视“not-so-wanted的细节。这是通过一些系数阈值的像素值图像是“扔掉”或设置为零或者一些“平滑”效应的工作是在图像矩阵。这个过程是用在JPEG2000标准。1.2目标在许多论文和书籍,主题在小波图像处理中所讨论的主要是在一个极端,即在工程方面的方面或小波进行了讨论,在条件操作符没有被明确的提到它是如何被用于其在实际工程中的应用。在本文中,作者补充说到[Sko01],[Use01]和[Vet01]更深入的数学性质,如属性从算子理论、泛函分析等,对小波起主要作用的结果在小波图像压缩编码。我们研究的目的在建立(如果尚未建立或改善之间的连接的数学方面的小波图像处理等方面的应用。同时,我们的论文探讨图像是用计算机程序实现,以及如何进行小波分解的数字化图像的计算机程序而言,在数学方面,希望数学和工程学之间的沟通将会得到改善,从而将带来更大的收益,数学家和工程师。2彩色图像小波压缩整个过程的小波图像压缩是执行如下:一个输入图像被计算机,前锋小波变换进行了数字图像,阈值可以对数字图像,熵编码工作是在图像在必要的地方,因此压缩图像是在电脑上完成。然后使用压缩图像,重建图像小波变换完成,然后逆小波变换进行图像,因此图像重建。在某些情况下,分块算法[Sha93],并且用已知有更好的压缩和分块算法实现了,但它不是。2.1提出小波变换.各种小波变换用于这一步。即Daubechies小波、Coiflets,双正交小波、和Symlets。这些不同的转换是实现观察各种数学性质,如对称,号码消失的时刻和正交压缩图像的不同结果。优点是它可以保存短支持本地。使用正交小波的Daubechies,所以做Coiflets。Symlets拥有的特性接近对称。双正交小波的是垂直的,但不是必须正交提供了更多的选项来各种过滤器如对称过滤器从而允许他们拥有对称的财产。MATLAB有一个叫做wavedec2子例程执行分解的图像为你到给定的期望水平(N)与特定需要小波(wname)。因为有三个组件来处理,应用小波变换componentwise。“wavedec”是一个二维小波分析功能。[C,S]=wavedec2(X,N,的wname”)返回小波分解矩阵的X在级别N,利用小波中指定字符串'wname”将是分解矢量C和correspondingbookkeeping矩阵[MatlabUG]。这里的图象为X的矩阵。2.2阈值因为这个项目的目的是比较每个图像压缩的性能使用不同的小波、固定阈值被使用。MATLAB里被称作wthrmngr的子程序，已经叫它可计算全局阈值或依赖阈值水平根据选项和方法。可用的选项是全球性的阈值和阈值水平依赖,和全球阈值是程序中使用。然而,一个固定阈值是用给定的条件相同的每个小波变换来比较不同条件下的性能。在这里,固定阈值10,20人被使用。对于无损压缩0作为阈值,原因很明显。2.3重建图像小波变换和逆小波变换在这一步,意义的地图是采取与振幅小波系数的非零价值,小波转换图像重建。逆小波变换.小波参数转换为一个图像几乎相同,原始图像。有多少相同,那么它们将取决于是否有损压缩或无损。2.4Coiflets设计Coiflets设计,以维护一个接近的匹配值之间的趋势和原始信号的值。所有的coiflets,CoifI,我=6、12、18,24岁,30定义在一个类似的方式,但他们有一些Daubechies小波不同的属性。Coif6转换产生一个更接近的比分subsignals之间趋势和原始信号的价值观匹配的DaubJ转换可以产生。这意味着Coifman小波系统类似于Daubechies小波系统(等级2),都拥有最大数量的消失的时刻,但是消失的时刻是平均分布在这个尺度函数和小波函数。相比之下的案例Daubechies小波、没有公式的Coiflets任意属,没有正式的证明它们的存在为任意属在这个时候。有数值解的方法,用牛顿的工作很好,直到出现舍入错误给问题,约20(roundoff属错误也是一个问题在计算数值超过这个Daubechies缩放向量相同的范围与光谱分解,即使公式并给出一个arevalid存在定理为每一个种类(Res98]。如果我们使用小波Daubechies以同样的方式,一个人不能获得同样的近似结果,除了低阶。2.5小波支撑小函数定义在一个有限的时间间隔和拥有一个平均的值为零。基本的想法的小波变换来表示任意函数f(x)的叠加一组这样的小波或基函数。这些基本功能是获得原型叫做母亲英格尔小波小波ψ(x),通过dilations或缩放和翻译。小波基非常擅长有效地代表函数平滑除了少量的间断。2.6双正交小波双正交小波分析的基础,在定义弱定义依据正交小波基地。尽管正交小波滤波器的self-duality只有,双正交小波滤波器的二元性。自正交小波滤波器的使能源保护证实在[Wal99],双正交小波不是能源保护。当前压缩系统使用双正交小波代替正交小波,尽管事实上它不是能源保护。双正交小波的事实不是能源保护不是一个大问题,因为有线性相位双正交滤波器系数是“接近”被正交[Use01]。的主要优点是双正交小波变换,它允许使用更高级别的过滤器,这类包含对称过滤器。双正交小波变换是有利的,因为它可以使用线性相位滤波器提供对称输出当面对对称输入。这种转变被称为对称小波变换和它解决了问题的扩张和边界断层系数。这里的图像进行小波分解的次数的图像能够除以2ie。(地板(log2(min(大小的图像))))倍。平均的上一级的图像分解成四个subimages在每个级别的小波图像分解。进一步对图像进行小波分解应用在图2将会导致图像图3和图4。请注意,上的图片左上角最角落得到模糊“平均”时,还要注意水平、垂直、对角线图像的组件。一个更好的例子,其中的水平、垂直和对角组件更明确地显示在图6和图图像7.注意,水平、垂直和对角组件在矩形掸子图中。3图像的数学表示法在这一节中,我们将探讨了数字图像背后表示和数学。MATLAB是一个互动的系统,它的基本数据元素是一个数组,它不需要尺寸。这使得制定解决许多技术的计算问题,特别是那些涉及矩阵表示,在很短的需要花费一些时间来编写一个程序在一个标量交互式语言如C或Fotran。MATLAB的名字代表矩阵实验室。在大学环境中,MATLAB是标准的计算工具和高级课程介绍数学、工程和科学。在工业上,MATLAB是计算选择的工具对研究、开发和分析。MATLAB辅以一个家庭的特定于应用程序的解决方案称为工具箱;在这里,用小波分析工具(Gon04]。3.1数字图像表示法一个图像被定义为一个二维的函数ie。一个矩阵,f(x,y),x和y会是空间坐标,振幅的f在任何一对坐标(x,y)称为强度或灰度图像的点。彩色图像是由结合个人二维的图像。例如,在RGB颜色系统、彩色图像由三个即红色,绿色和蓝色的个别组件图片。因此许多技术开发的黑白图像可以扩展到彩色图像进行处理的三个组件分别图像。当x,y和振幅值f的都是有限的,离散的物理量,映像称为数字图像。数字图像处理领域是指处理数字图像通过数字计算机。一个数字图像是由一个有限数目的元素,每个元素都有一个特定的位置和价值。这些元素被称为图像元素,图像元素,针对和像素。因为像素是最广泛使用的术语,这些元素将被标记为像素从现在开始。一个图像也许持续对y-coordinatesx和,并在振幅。数字化坐标以及振幅会影响这种形象的转换到数字形式。在这里,数字化的坐标值是称为采样;数字化振幅值被称为量化。一个数字图像是由一个有限数目的元素,每个元素都有一个特定的位置和价值。数字图像处理领域是指处理数字图像通过数字计算机。3.2MATLAB里读取图片图像是读进MATLAB环境下使用函数叫做imread。语法如下:imread(文件名)这里,文件名是一个字符串,该字符串包含完整的图像文件的名字包括任何适用的扩展。例如,命令行>>f=imread(lena.jpg);读取JPEG图像莉娜分为图像数组或图像矩阵f。因为有三种颜色组成的形象,即红色,绿色和蓝色分量,图像分为三个不同颜色矩阵fr，fg和fb。3.3图像的小波分解。颜色转换，图像压缩的过程中,应用压缩图像的RGB组件会导致不良的颜色变化。因此,图像转化成它的强度,色调和色彩饱和度组件。颜色转换用于JPEG-2000标准[Sko01]已经被采用。4结果和讨论4.1该计划的实施这个计划执行,使用MATLAB与不同的子程序,使得小波变换、图像压缩和阈值计算信号的小波变换的工具包。4.2讨论有损压缩，有多种影响因素的图像压缩。正如上面提到的第二部分,nonorthogonality小波可能会引起压缩是有损的。当阈值应用于压缩,一些“微不足道的系数被扔掉从而导致有损压缩。同时,层级的数量将小波变换应用会影响压缩质量。尽管lossiness所引起的非正交小波是不可以避免某些小波时被使用,试图最小化了lossiness数量的层部分下降到单个像素级当小波变换应用(floor(log2(min(大小的图像))))。除了应用各种阈值lossiness观察。一个有损压缩方法倾向于生产中的错误解压映像。有损压缩方法时使用这些错误是如此的小,以致他们难以察觉。如果那些无法察觉的错误是可以接受的技术是有利的损耗比无损的,就可以达到更高的压缩比。为了支持所宣称的比较结果的图像和理论知识,我们获得了文本特征,比较了数值。他们的压缩率,均方根误差,rms,两个规范的相对差异,D,和峰值信噪比,PNSR。各种小波变换具有两种不同thresholdings被用来压缩和8位lena.png彩色图像。有一件事可以马上指出通过查看图像,图像压缩与较小的阈值为10看起来更接近原始图像。现在,考虑在每个小波变换的表演获得相同的阈值,bior2.2(双正交小波),sym5(Symlet)和Coif3(Coiflet)似乎已经产生了更少的完美的图像压缩的小波相比,所有其他的在小波db2似乎产生了最完美的图像压缩;同意上面讨论什么是在db2Daubechies小波被更好的信号压缩比db1(哈尔)。考虑到错误和压缩比的感知sym5形象将是最好的选择小波,在那些被用于图像压缩。因此,在这种情况下,sym5非常接近对称小波做了一份更好的工作,在图像压缩。同样,让额外的属性如前所述Coiflets下段由在图像压缩Coif3执行得更好。有biorothogonal属性似乎也导致更好的图像压缩。另一方面正交小波Daubechies似乎并不比coiflets表现更好,symlets双正交小波。而且,有再支持比例为小波的顺序,似乎导致企业绩效的不断恶化的图像压缩。与阈值10,当一个Daubechies小波,压缩比使用db134.2627而db238.4340了。一个CoifletCoif1导致压缩率为37.0173,而发型3导致压缩率为26.8321。双正交小波bior1.1和bior2.2给了34.2627和30.2723的压缩率分别。Symletssym2和sym5导致压缩率分别为38.4340倍和34.3523倍。现在,用更高的阈值,因为更多的日期被丢失,压缩比的增加而增大。然而,图像的质量的同时减少了。4.3结论小波压缩确实展现出非凡的性能，尤其是较小的阈值，它并不是在原始图像之间的可微的,那么图像压缩为某些情况下。然而,还可以进行更多的改进。作为里提到[Sko01]有更多的改进的空间通过添加更多的阶段到压缩如量化、熵编码等。同时,我们没有涉及到所有的小波,就在那里,它不能决定是哪一个表现最佳的图像压缩。数学方面的小波扮演一个重要的不同结果的工程应用。我希望研究的数学性质及其应用小波在不同地区的工程研究。

AbstractAbstract:Waveletsprovideapowerfulandremarkablyflexiblesetoftoolsforhandlingfundamentalproblemsinscienceandengineering,suchasaudiode-noising,signalcompression,objectdetectionandfingerprintcompression,imagede-noising,imageenhancement,imagerecognition,diagnostichearttroubleandspeechrecognition,tonameafew.Here,wearegoingtoconcentrateonwaveletapplicationinthefieldofImageCompressionsoastoobservehowwaveletisimplementedtobeappliedtoanimageintheprocessofcompression,andalsohowmathematicalaspectsofwaveletaffectthecompressionprocessandtheresultsofit.Waveletimagecompressionisperformedwithvariousknownwaveletswithdifferentmathematicalproperties.Westudytheinsightsofhowwaveletsinmathematicsareimplementedinawaytofittheengineeringmodelofimagecompression.1.IntroductionWaveletsarefunctionswhichallowdataanalysisofsignalsorimages,accordingtoscalesorresolutions.Theprocessingofsignalsbywaveletalgorithmsinfactworksmuchthesamewaythehumaneyedoes;orthewayadigitalcameraprocessesvisualscalesofresolutions,andintermediatedetails.Butthesameprinciplealsocapturescellphonesignals,andevendigitizedcolorimagesusedinmedicine.Waveletsareofrealuseintheseareas,forexampleinapproximatingdatawithsharpdiscontinuitiessuchaschoppysignals,orpictureswithlotsofedges.Whilewaveletsisperhapsachapterinfunctiontheory,weshowthatthealgorithmsthatresultarekeytotheprocessingofnumbers,ormorepreciselyofdigitizedinformation,signals,timeseries,movies,colorimages,etc.Thus,applicationsofthewaveletideaincludebigpartsofsignalandimagepro-cessing,datacompression,fingerprintencoding,andmanyotherfieldsofscienceandengineering.Thisthesisfocusesontheprocessingofcolorimageswiththeuseofcustomdesignedwaveletalgorithms,andmathematicalthresholdfilters.Althoughtherehavebeenanumberofrecentpapersontheoperatortheoryofwavelets,thereisaneedforatutorialwhichexplainssomeappliedtendsfromscratchtooperatortheorists.Waveletsasasubjectishighlyinterdisciplinaryanditdrawsincrucialwaysonideasfromtheoutsideworld.WeaimtooutlinevariousconnectionsbetweenHilbertspacegeometryandimageprocessing.Thus,wehopetohelpstudentsandresearchersfromoneareaunderstandwhatisgoingonintheother.Onedifficultywithcommunicatingacrossareasisavastdifferenceinlingo,jargon,andmathematicalterminology.Withhands-onexperiments,ourpaperismeanttohelpcreateabetterunderstandingoflinksbetweenthetwosides,mathandimages.Itisadelicatebalancedecidingwhattoinclude.Inchoosing,wehadinmindstudentsinoperatortheory,stressingexplanationsthatarenoteasytofindinthejournalliterature.Ourpaperresultsextendwhatwaspreviouslyknown,andwehopeyieldsnewinsightintoscalingandofrepresentationofcolorimages;especially,wehaveaimedforbetteralgorithms.Thepaperconcludeswithasetofcomputergeneratedimageswhichservetoillustrateourideasandouralgorithms,andalsowiththeresultingcompressedimages.1.1.Overview.WaveletImageProcessingenablescomputerstostoreanimageinmanyscalesofresolutions,thusdecomposinganimageintovariouslevelsandtypesofdetailsandapproximationwithdifferentvaluedresolutions.Hence,makingitpossibletozoomintoobtainmoredetailofthetrees,leavesandevenamonkeyontopofthetree.Waveletsallowonetocompresstheimageusinglessstoragespacewithmoredetailsoftheimage.Theadvantageofdecomposingimagestoapproximateanddetailpartsasin3.3isthatitenablestoisolateandmanipulatethedatawithspecificproperties.Withthis,itispossibletodeterminewhethertopreservemorespecificdetails.Forinstance,keepingmoreverticaldetailinsteadofkeepingallthehorizontal,diagonalandverticaldetailsofanimagethathasmoreverticalaspects.Thiswouldallowtheimagetoloseacertainamountofhorizontalanddiagonaldetails,butwouldnotaffecttheimageinhumanperception.Asmathematicallyillustratedin3.3,animagecanbedecomposedintoapproximate,horizontal,verticalanddiagonaldetails.Nlevelsofdecompositionisdone.Afterthat,quantizationisdoneonthedecomposedimagewheredifferentquantizationmaybedoneondifferentcomponentsthusmaximizingtheamountofneededdetailsandignoring‘not-so-wanted’details.Thisisdonebythresholdingwheresomecoefficientvaluesforpixelsinimagesare‘thrownout’orsettozeroorsome‘smoothing’effectisdoneontheimagematrix.ThisprocessisusedinJPEG2000.1.2.Motivation.Inmanypapersandbooks,thetopicsinwaveletsandimageprocessingarediscussedinmostlyinoneextreme,namelyintermsofengineeringaspectsofitorwaveletsarediscussedintermsoperatorswithoutbeingspecificallymentionedhowitisbeingusedinitsapplicationinengineering.Inthispaper,theauthoraddsonto[Sko01],[Use01]and[Vet01]moreinsightsaboutmathematicalpropertiessuchaspropertiesfromOperatorTheory,FunctionalAnalysis,etc.ofwaveletsplayingamajorroleinresultsinwaveletimagecompression.Ourpaperaimsinestablishingifnotalreadyestablishedorimprovetheconnectionbetweenthemathematicalaspectsofwaveletsanditsapplicationinimageprocessing.Also,ourpaperdiscussonhowtheimagesareimplementedwithcomputerprogram,andhowwaveletdecompositionisdoneonthedigitalimagesintermsofcomputerprogram,andintermsofmathematics,inthehopethatthecommunicationbetweenmathematicsandengineeringwillimprove,thuswillbringgreaterbenefitstomathematiciansandengineers.2WaveletColorImageCompressionThewholeprocessofwaveletimagecompressionisperformedasfollows:Aninputimageistakenbythecomputer,forwardwavelettransformisperformedonthedigitalimage,thresholdingisdoneonthedigitalimage,entropycodingisdoneontheimagewherenecessary,thusthecompressionofimageisdoneonthecomputer.Thenwiththecompressedimage,reconstructionofwavelettransformedimageisdone,theninversewavelettransformisperformedontheimage,thusimageisreconstructed.Insomecases,zero-treealgorithm[Sha93]isusedanditisknowntohavebettercompressionwithzero-treealgorithmbutitwasnotimplementedhere.2.1ForwardWaveletTransform.Variouswavelettransformsareusedinthisstep.Namely,Daubechieswavelets,Coiflets,biorthogonalwavelets,andSymlets.Thesevarioustransformsareimplementedtoobservehowvariousmathematicalpropertiessuchassymmetry,numberofvanishingmomentsandorthogonalitydiffertheresultofcompressedimage.Advantagesshortsupportisthatitpreserveslocality.TheDaubechieswaveletsusedareorthogonal,sodoCoiflets.Symletshavethepropertyofbeingclosetosymmetric.Thebiorthogonalwaveletsarenotorthogonalbutnothavingtobeorthogonalgivesmoreoptionstoavarietyoffilterssuchassymmetricfiltersthusallowingthemtopossessthesymmetricproperty.MATLABhasasubroutinecalledwavedec2whichperformsthedecompositionoftheimageforyouuptothegivendesiredlevel(N)withthegivendesiredwavelet(wname).Sincetherearethreecomponentstodealwith,thewavelettransformwasappliedcomponentwise.“wavedec”isatwo-dimensionalwaveletanalysisfunction.[C,S]=wavedec2(X,N,‘wname’)returnsthewaveletdecompositionofthematrixXatlevelN,usingthewaveletnamedinstring‘wname’.Out-putsarethedecompositionvectorCandthecorrespondingbookkeepingmatrixS[MatlabUG].HeretheimageistakenasthematrixX.2.2Thresholding.Sincethewholepurposeofthisprojectwastocomparetheperformanceofeachimagecompressionusingdifferentwavelets,fixedthresholdswereused.MATLABhasthissubroutinecalledwthrmngrwhichcomputestheglobalthresholdorleveldependentthresholdsdependingontheoptionandmethod.Theoptionsavailableareglobalthresholdandleveldependentthreshold,andtheglobalthresholdisusedintheprogram.However,afixedthresholdvalueswereusedsoastohavethesamegivenconditionforeverywavelettransformtocomparetheperformancesofdifferentconditions.Here,fixedthresholds10and20wereused.Forthelosslesscompression0isusedasthethresholdforanobviousreason.2.3ReconstructionofWaveletTransformedImageandandInverseWaveletTransformationAtthisstep,thesignificancemapistakenandwiththeamplitudesofthenon-zerovaluedwaveletcoefficients,thewavelettransformedimageisreconstructed.Thewaveletparametersareconvertedbackintoanimagealmostidenticaltotheoriginalimage.Howmuchidenticaltheyarewillbedependentuponwhetherthecompressionwaslossyorlossless.2.4Coiflets.Coifletsaredesignedsoastomaintainaclosematchbetweenthetrendvaluesandtheoriginalsignalvalues.Allofthecoiflets,CoifI,I=6,12,18,24,30aredefinedinasimilarwayasDaubechieswaveletsbuttheyhavesomedifferentproperties.Coif6transformproducesamuchclosermatchbetweentrendsubsignalsandtheoriginalsignalvaluesthanthematchthatanyoftheDaubJtransformscanproduce.Thismeansthatthe.CoifmanwaveletsystemsaresimilartoDaubechieswaveletsystems(inrank2)inthattheyhaveamaximalnumberofvanishingmoments,butthevanishingofmomentsareequallydistributedbetweenthescalingfunctionandthewaveletfunction.IncontrasttothecaseforDaubechieswavelets,thereisnoformulaforCoifletsofarbitrarygenus,andthereisnoformalproofoftheirexistenceforarbitrarygenusatthistime.TherearenumericalsolutionsusingNewton’smethodwhichworkwelluntilround-offerrorgivesproblems,uptoaboutgenus20(roundofferrorisalsoaproblemincalculatingtheDaubechiesscalingvectornumericallybeyondthissamerangewithspectralfactorization,eventhoughtheformulasarevalidandgiveanexistencetheoremforeverygenus[Res98].IfweusedDaubechieswaveletsinthesameway,onecannotgetthesameapproximationresults,excepttoloworder.2.5WaveletsCompactlysupportedwaveletsarefunctionsdefinedoverafiniteintervalandhavinganaveragevalueofzero.Thebasicideaofthewavelettransformistorepresentanyarbitraryfunctionf(x)asasuperpositionofasetofsuchwaveletsorbasisfunctions.Thesebasisfunctionsareobtainedfromaingleprototypewaveletcalledthemotherwaveletψ(x),bydilationsorscalingandtranslations.Waveletbasesareverygoodatefficientlyrepresentingfunctionsthataresmoothexceptforasmallsetofdiscontinuities.2.6BiorthogonalThebiorthogonalwaveletshavebasesthataredefinedinawaythathasweakerdefinitionofthebasesoforthogonalwaveletbases.Thoughtheorthogonalwavelet’sfilterhasself-dualityonly,thebiorthogonalwavelet’sfilterhasduality.Sincetheorthogonalityofthefiltermakesthewaveletenergypreservingasprovenin[Wal99],thebiorthogonalwaveletsarenotenergypreserving.Currentcompressionsystemsusebiorthogonalwaveletinsteadoforthogonalwaveletsdespitethefactthatitisnotenergypreserving.Thefactthatbiorthogonalwaveletsarenotenergypreservingisnotabigproblemsincetherearelinearphasebiorthogonalfiltercoefficientswhichare“close”tobeingorthogonal[Use01].Themainadvantageofthebiorthogonalwavelettransformisthatitpermitstheuseofamuchbroaderclassoffilters,andthisclassincludesthesymmetricfilters.Thebiorthogonalwavelettransformisadvantageousbecauseitcanuselinearphasefilterswhichgivessymmetricoutputswhenpresentedwithsymmetricinput.Thistransformiscalledthesymmetricwavelettransformanditsolvestheproblemsofcoefficientexpansionandborderdiscontinuities.See[Use01].3DigitalImageRepresentationandMathematicsbehindItInthissectionwewillexplorethedigitalimagerepresentationandMathematicsbehindit.MATLABisaninteractivesystemwhosebasicdataelementisanarraythatdoesnotrequiredimensioning.Thisenablesformulatingsolutionstomanytechnicalcomputingproblems,especiallythoseinvolvingmatrixrepresentations,inafractionofthetimeitwouldtaketowriteaprograminascalarnon-interactivelanguagesuchasCorFotran.ThenameMATLABstandsformatrixlaboratory.Inuniversityenvironments,MATLABisthestandardcomputationaltoolforintroductoryandadvancedcoursesinmathematics,engineeringandscience.Inindustry,MATLABisthecomputationaltoolofchoiceforresearch,development,andanalysis.MATLABiscomplementedbyafamilyofapplication-specificsolutionscalledtoolboxes;here,WaveletToolboxisused[Gon04].3.1DigitalImageRepresentation.Animageisdefinedasatwo-dimensionalfunctionie.amatrix,f(x,y),wherexandyarespatialcoordinates,andtheamplitudeoffatanypairofcoordinates(x,y)iscalledtheintensityorgrayleveloftheimageatthepoint.Colorimagesareformedbycombiningtheindividualtwo-dimensionalimages.Forexample,intheRGBcolorsystem,acolorimagesconsistsofthreenamely,red,greenandblueindividualcomponentimages.Thusmanyofthetechniquesdevelopedformonochromeimagescanbeextendedtocolorimagesbyprocessingthethreecomponentimagesindividually.Whenx,yandtheamplitudevaluesoffareallfinite,discretequantities,theimageiscalledadigitalimage.Thefieldofdigitalimageprocessingreferstoprocessingdigitalimagesbymeansofadigitalcomputer.Adigitalimageiscomposedofafinitenumberofelements,eachofwhichhasaparticularlocationandvalue.Theseelementsarereferredtoaspictureelements,imageelements,pelsandpixels.Sincepixelisthemostwidelyusedterm,theelementswillbedenotedaspixelsfromnowon.Animagemaybecontinuouswithrespecttothex-andy-coordinates,andalsoinamplitude.Digitizingthecoordinatesaswellastheamplitudewilltakeintoeffecttheconversionofsuchanimagetodigitalform.Here,thedigitizationofthecoordinatevaluesarecalledsampling;digitizingtheamplitudevaluesiscalledquantization.Adigitalimageiscomposedofafinitenumberofelements,eachofwhichhasaparticularlocationandvalue.Thefieldofdigitalimageprocessingreferstoprocessingdigitalimagesbymeansofadigitalcomputer.3.2.ReadingImages.InMATLAB,imagesarereadintotheMATLABenvironmentusingfunctioncalledimread.Thesyntaxisasfollows:imread(filename)Here,filenameisastringcontainingthecompletenameoftheimagefileincludinganyapplicableextension.Forexample,thecommandline>>f=imread(lena.jpg);readstheJPEGimagelenaintoimagearrayorimagematrixf.Sincetherearethreecolorcomponentsintheimage,namelyred,greenandbluecomponents,theimageisbrokendownintothethreedistinctcolormatricesfRfGandfB。3.3.WaveletDecompositionofanImage.ColorConversion.Intheprocessofimagecompression,applyingthecompressiontotheRGBcomponentsoftheimagewouldresultinundesirablecolorchanges.Thus,theimageistransformedintoitsintensity,hueandcolorsaturationcomponents.ThecolortransformationusedinJPEG2000standard[Sko01]hasbeenadopted.Forthelossycompression,equations(3.2)and(3.3)wereusedintheprogram.4.ResultsandDiscussion4.1.ImplementationoftheProgram.TheprogramwasimplementedusingMATLABwithvarioussubroutinesthatenablesthewavelettransformation,imagecompressionandthresholdcomputationfromtheWaveletToolkit.4.2.Discussion.LossyCompression.Therearevariousfactorsthatinfluencetheimagecompression.Asmentionedaboveinsection2,nonorthogonalityofthewaveletmaycausethecompressiontobelossy.Whenthresholdisappliedtothecompression,someofthe’insignificant’coefficientsarethrownoutthustheresultinginlossycompression.Also,thenumberoflevelsthewavelettransformisappliedwouldinfluencethecompressionquality.Althoughthelossinesscausedbythenonorthogonalwaveletwasnotavoidablewhencertainwaveletswereused,anattempttominimizethelossinesswasmadeforthenumberoflevelspartbygoingdownallthewaytothesinglepixellevelwhenthewavelettransformwasapplied(floor(log2(min(sizeofImage)))).Inadditionvariousthresholdvaluesareappliedtoobservethelossiness.Alossycompressionmethodtendtoproduceinaccuraciesinthedecompressedimage.Lossycompressionmethodisusedwhentheseinaccuraciesaresosmallthattheyareimperceptible.Ifthoseimperceptibleinaccuraciesareacceptablethelossytechniqueisadvantageouscomparedtothelosslessonesforhighercompressionratioscanbeattained.Inordertosupporttheclaimsmadebycomparisonoftheresultingimagesandthetheoreticalknowledgethatweobtainedfromthetexts,somenumericalcomparisonsaremade.Theyarethecompressionratio,therootmeansquareerror,rms,therelativetwonormdifference,D,andthepeaksignaltonoiseratio,PNSR.Theformulasusedareasfollows:Variouswavelettransformswithtwodifferentthresholdingswereusedtocompresstheand8-bitcolorimagelena.png.Theresultsareasfollows:Onethingthatcouldbenotedrightawaybylookingattheimagesisthattheimagescompressedwithsmallerthresholdvaluethatis10lookclosertotheoriginallena.pngcomparedtotheimagescompressedwiththresholdvalue20overall.Now,lookingattheperformancesofeachwavelettransformsgiventhesamethresholdvalue,bior2.2(Biorthogonalwavelet),sym5(Symlet)andCoif3(Coiflet)seemtohaveproducedthelessflawlesscompressedimagescomparetoalltheotherwavelets.WithintheDaubechieswaveletsdb2appearstohaveproducedtheleastflawlesscompressedimage;thatagreeswithwhatwasdiscussedaboveinDaubechieswaveletsthatdb2isbeingbetterinsignalcompressionthandb1(Haar).Consideringtheerrorsandcompressionratiosaswellastheperceptionoftheimagesym5wouldbethebestchoiceofwavelets,amongtheonesthatwasusedfortheimagecompr