人教A版高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词【课件】

1.5.1

全称量词与存在量词课标定位素养阐释1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能判断其真假.3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应用.4.提升数学抽象和逻辑推理能力.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

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辨

析随

堂

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习

自主预习·新知导学一、全称量词与全称量词命题1.给出下列语句:①3x+2是无理数;②x有算术平方根;③对一切无理数x,3x+2还是无理数;④所有实数x都有算术平方根.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?提示:(1)语句①②中含有变量x,无法判断它们的真假,故①②不是命题.(2)语句③在①的基础上,用短语“一切”对变量x进行限定;语句④在②的基础上,用短语“所有”对变量x进行限定.(3)③④是能判断真假的语句,是命题;③是真命题,④是假命题.2.

3.下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数;②所有的偶数都是合数;③三角形的内角和是180°.A.0 B.1

C.2

D.3解析:命题①②含有全称量词,命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”,故三个都是全称量词命题.答案:D二、存在量词与存在量词命题1.给出下列语句:①x>5;②x是有理数;③存在实数x,使x>5;④至少有一个实数x,使x是有理数.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?提示:(1)不是.(2)语句③在①的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句④在②的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.(3)③④是命题,都是真命题.2.

3.下列命题是存在量词命题的是(

)A.一元二次函数的图象关于y轴对称B.正方形都是平行四边形C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)“有理数全是实数”是全称量词命题.(√)(2)同一个全称量词命题的表述是唯一的.(×)(3)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题.(×)

合作探究·释疑解惑探究一

全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)对任意实数a,b,若a>b,则(4)有些三角形不是直角三角形;(5)负数的平方是正数;(6)若x>0,则x+2>2.分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素.解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.(4)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称量词命题.(6)省略了全称量词“所有”,可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.反思感悟1.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.2.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.【变式训练1】

给出下列四个命题:①有理数是实数;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④凡是三角形,都有内切圆.其中是全称量词命题的是

.(填序号)

解析:在④中含有全称量词“凡是”,为全称量词命题.③为存在量词命题.①可以改写为“所有的有理数都是实数”,②可以改写为“所有的矩形都不是梯形”,故①②④为全称量词命题.答案:①②④探究二

全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】

用量词符号“∀”“∃”表示下列命题,并判断其真假.(1)实数都能写成小数形式;(2)有一个实数x,使(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)至少有一个集合A,满足A⫋{1,2,3}.解:(1)∀x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形},x的对角线互相平分,由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合},A⫋{1,2,3}.因为存在A={3},使A⫋{1,2,3}成立,所以该命题是真命题.反思感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立.(2)对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”,要判断它为真,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立;要判断它为假,需要判断“∀x∈M,p(x)不成立”.【变式训练2】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)存在一组m,n的值,使m-n=1.解:(1)是全称量词命题,由于对任意x∈N,2x+1都是奇数,故该命题是真命题.(2)是存在量词命题,因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故该命题是假命题.(3)是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系,知该命题是真命题.(4)是存在量词命题,当m=4,n=3时,m-n=1成立,故该命题是真命题.探究三

利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围【例3】

已知命题p:∃x∈R,使x2+2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.将本例中的条件“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“∀x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由∀x∈R,x2+2x+2-a>0为真命题,得函数y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的图象在x轴上方,即1-a>0,得a<1.故实数a的取值范围为a<1.反思感悟利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称量词命题为真命题时,常转化为不等式的恒成立问题,最终通过构造函数转化为函数的相关问题来处理.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理.易

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析对量词理解不到位致错【典例】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)矩形有一个外接圆;(2)非负实数有两个平方根.错解:(1)存在量词命题.(2)存在量词命题.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题.正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题.(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题.防范措施1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定.2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,提升数学抽象素养.随

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习1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是(

)A.任何一个实数乘零都等于零B.自然数都是正整数C.存在一个负数x,使x+1>2D.所有二次函数的图象都开口向上解析:选项B指的是所有的自然数都是正整数,故是全称量词命题,A,D显然是全称量词命题,C是存在量词命题.答案:ABD解析:显然选项A,C是真命题;选项B,当x=0时,0∈N,但0<1.故B是假命题;选项D,当