人教A版高中数学必修第一册 3.1.1 函数的概念【课件】

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标素养要求1．用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素数学抽象2．会求一些简单函数的定义域和值域数学运算3．理解区间的概念及表示直观想象|自学导引|

函数的概念概念设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A三要素对应关系f定义域______的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}任意一个

数x

唯一确定x

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合． (

)(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y． (

)(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1．(2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应．(3)在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．

函数相等如果两个函数的__________相同，并且____________完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．定义域对应关系函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？【提示】两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．微思考【预习自测】

区间及有关概念1．一般区间的表示．设a，b∈R，且a＜b，规定如下．[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

2．特殊区间的表示．定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)____________________________________[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？【提示】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．微思考【预习自测】|课堂互动|题型1函数关系的判定

(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是 (

)【答案】(1)D

(2)D【解析】(1)任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．(2)①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数；④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．函数概念的理解(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 (

)

A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】B【解析】①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性；②对，同时满足任意性与唯一性；③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性；④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．【答案】(1)⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数．判断两个函数为同一函数应注意三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．【答案】(1)B

(2)B求函数的定义域的注意点(1)函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的取值范围．【答案】(1){x|x＞－2且x≠3}(2){x|0≤x≤2020且x≠1}(2)解：①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R．②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．【答案】(1)16错解：由题意得3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．易错防范：忽视分母不为零；误以为(x＋1)0＝1对任意实数成立．防范措施是求函数的定义域时应注意以下几点：①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③零的非正数次幂没有意义；④函数的定义域是非空的数集．|素养达成|1．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应关系，因此，判定两个函数是否是同一函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数(体现了数学抽象核心素养)．2．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．1．(题型1)下列图形中可能表示函数图象的是 (

)【答案】C【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C．【答案】D【解析】选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同．故选D