人教A版必修二高中数学第一章 1.2.3同步课堂导学案【含详细解析】

1.2.3空间几何体的直观图[学习目标]1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．[知识链接]1．一般地，在一个几何体的三视图中，侧视图与正视图高一样；俯视图与正视图长一样；侧视图与俯视图宽一样．2．画三视图是用平行投影的方法画出来的．3．梯形的面积S＝eq\f(1,2)(a＋b)h(其中a、b为两底长，h为高)．[预习导引]1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．要点一画水平放置的平面图形的直观图例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．规律方法1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．跟踪演练1用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝eq\f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．要点二由直观图还原平面图形例2如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C．a2D．2a2答案B解析由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．跟踪演练2一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为eq\r(2)，则原梯形的面积为()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2eq\r(2)倍，梯形O′A′B′C′的面积为eq\r(2)，所以原梯形的面积是4.要点三空间几何体的直观图例3如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图．解(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．规律方法1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”．跟踪演练3由如图所示几何体的三视图画出直观图．解(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点答案B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．2．关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图可能不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形答案D解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．答案6解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：eq\f(S直,S原)＝eq\f(\r(2),4).2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．一、基础达标1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形答案B解析∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．3．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()答案C解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．ABB．ADC．BCD．AC答案D解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．5．下列说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1B．2C．3D．4答案A解析①②③错误，④正确．6.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．答案eq\f(5,2)解析将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为eq\f(5,2).7．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．二、能力提升8．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案C9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋eq\f(\r(2),2)，高为2，∴原平面图形的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).10.在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.答案矩形8解析由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8cm2.11．用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图．解画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图，如图②.三、探究与创新12．用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定)．解(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去