初一数学实数学案

平方根

知识要点：

一、1.算术平方根的定义

如果一个正数X的平方等于a,即f=a,那么这个正数X叫做a的算术平方根（规

定0的算术平方根还是0）;a的算术平方根记作右，读作“a的算术平方根”，a

叫做被开方数.

2.平方根的定义

如果x2=a,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

平方与开平方互为逆运算.a（a20）的平方根的符号表达为土&（a20）,其中&

是a的算术平方根.

二、平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：±&和

2.联系：（1）包含关系；（2）被开方数非负；（3）0的平方根和算术平方

根均为0.

说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的

算术平方根；负数没有平方根.

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出

它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

三、算术平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或向左移动2位，

其算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.

例题分析

1、若2m—4与3m—1是同一个正数的两个平方根，

求m的值.

2、x为何值时，下列各式有意义？

（1）5

（2）Jx-2

1

(3)\/%+1+y[\—X

⑷旦

x—2

3、求下列各式的值.

(1)V252-242732+42

(2)J20--->/036--V900

V435

4、求下列各式中的x.

(1)%2-361=0

(2)(x+l『=289

(3)9(3x+2)2-64=0

5、已知a、b是实数，且J2a+6+卜-闿=0

解关于x的方程：(a+2)x+〃=a—1

6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面

积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用

这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

巩固练习

1.下列说法中正确的有().

①只有正数才有平方根.②-2是4的平方根.

③V16的平方根是±4.④/的算术平方根是a.

⑤(-2)2的平方根是-2.⑥y/9=±3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若m=>/而-4,则估计m的值所在的范围是()

A.l<m<2B.2<m<3

C.3<m<4D.4<m<5

3,有一个数值转换器，原理如下:

2

-----------------1是无理数--------

输入T*取算术平方根一-T—►输出

是有理数

当输入的x=64时，输出的y等于（）

A.2B.8C.2A/2D.3V2

3

立方根、实数

知识要点：

一、立方根的定义

如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即如果V="，

那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方.一个数a的立方根，

用蚣表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.

二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数

的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

三、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分-数1有理数：有限小数或无限循环小数

"上”头［无理数：无限不循环小数

・正数

按与。的大小关系实数,0

2.实数与数轴上的I负数.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点

与之对应.

四、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0,负实数小于0,两个负数，绝对值大的反而小.

开立方例题分析

1、下列结论正确的是（）

A.64的立方根是±4B.-L是的立方根

26

C.立方根等于本身的数只有0和1D.g=-河

2、求下列各式的值：

4

(2)#11X43+52

(4)^27+J(-3)2-V-f

3、求下列各式中的x值.

（1）271=8；

⑵（x-2）3+1=0；

（3）1000（X+1）3=-27;

⑷-（2X-3）3=54.

4

4.将棱长分别为acm和bcm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体

铝块，这个大正方体的棱长为cm.（不计损耗）

5.已知实数a,a+=&

求Ia—l+Ia+1I的值.

6.已知5x+19的立方根是4,

求2x+7的平方根.

开立方例题分析

1.判断正误，在后面的括号里对的用“J”，错的记“X”表示，并

说明理由.

（1）无理数都是开方开不尽的数.（）

（2）无理数都是无限小数.（）

（3）无限小数都是无理数.（）

（4）无理数包括正无理数、零、负无理数.（）

（5）不带根号的数都是有理数.（）

（6）带根号的数都是无理数.（）

（7）有理数都是有限小数.（）

5

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

2.已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，

ftAAA-

*yo；

Ix—zI

一/…\x-y\-\y+z\+\x+z\+------•

试化简：x-z

3.若a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解.

(1)求a的值；

(2)求a?的算术平方根.

4、己知(。一2b+1)'+—3-0,且y/c-4,

求物川+。的值.

5、如图：平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是

月(65,C(2有,0).

(1)写出点B的坐标；

(2)将平行四边形ABC0向左平移逐个单位长度，

求所得平行四边形四个顶点的坐标；

(3)求平行四边形ABC0的面积.

6

实数复习

知识要点：

一。平方根和立方根

类型

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±4al/a

一个正数有两个平方根，且一个正数有一个正的立方

互为相反数；根；

性质零的平方根为零；一个负数有一个负的立方

负数没有平方根；根；

零的立方根是零；

(而)2=a(a>0)(V^)3=a

重要结论疗=M=卜3±0)=a

日a(a<0)

=-Va

—.实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分^数［有理数：有限小数或无限循环小数

“L"头数1无理数：无限不循环小数

,正数

按与0的大小关系实数,0

2.实数与数轴上的I负数.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点

与之对应.

三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0,负实数小于0,两个负数，绝对值大的反而小.

四.实数的运算：

数a的相反数是一a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的

相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合

运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，

有括号先算括号里.

五.实数的大小的比较:

7

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立。

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而

小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

例题分析

3%才+12

1、己知了=空Jx---3--+13--x-----,

求％2了的值.

练习1.己知y—Jx—2+A/2—x+3)

求V的平方根。

练习2.若即3工-7和曲+4互为相反数，

求x+y的值。

2、已知必是满足不等式-石的所有整a的和，N是满足不等式

2的最大整数.

求,什川的平方根.

3、己知a是质的整数部分，8是它的4强部分，

求।-a「+1匕+39的值.

练习：已知5+而的d激部分为a,5—而的小数部分为b,

贝ija+b的值是;a-b的值是.

4、阅读理解，回答问题.

在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键

是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的

一种行之有效的方法：若a—b>0,则a>b；若a—b=0,则a=b；若a—b<0,则a(b.

例如：在比较m2+l与m2的大小时，小东同学的作法是：

8

（羽，+1）一（活=病+1-=1＞0,

..W24-1＞病.

请你参考小东同学的作法，比较大小:4杉-------（2+Jiy

练习：例々在数轴上的位置如图所示，

则a,—q—尸2的大小关系是：

a

-1a0

5、已矢口a、b1^78+16-^1=0

解关于x的方，（以+2）x+"=°-1

练习：设a、b、c都是实数，上（2—以y+Ja，+.+c+r+8|=0

求代数2a-劭-。的值。

6、阅读材料：

学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算炉的近似值.

小明的方•.•加（后＜设历=3+左（0＜左＜1）.

问题：（/.（V13）2=（3+左）L..13=9+6左+左？.

（2）i音幺4V—4

13«9+6k,解得A?«—./.yjY3«3H—«3.67.

66

己知非负整数a、b、m,若+

且以=4+匕，则赤'曰®含a、3的代数式表示）；

（3）请用《2）中的结论估算后的近似值.

巩固练习

1.已知a、。是实数，下列命题结论正确的是（）

A.若a＞6,则B.若a＞I61,则/＞匕2

C.若lai＞6,则D若则

2.下列式子表示算术平方根的是（）.

9

37=3©^(-25)(-11=5③y=

④-后=5⑤±V5?3T=±O.l⑥必=621<7>0I

A.①