圆锥曲线文尖子版讲义1.0

试卷第=page22页，总=sectionpages33页42/48圆锥曲线分类题库考点一：椭圆的定义、方程以及离心率【例1】（2013年四川卷9）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D． 【例2】（河北省衡水中学）如图，点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 【例3】（2009江苏卷13）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为_____________【例4】（2008湖南卷10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①②③④其中正确式子的序号是（）A.①③B.②③C.①④D.②④【例5】（湖南长郡中学）如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点.若,且,则椭圆的离心率的取值范围（）A.B.C.D.【例6】（2010辽宁卷15）设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.【例7】（2015重庆卷21）如图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于两点，且.（Ⅰ）若=2+，=2-，求椭圆的标准方程;（Ⅱ）若=，且，试确定椭圆离心率的取值范围.变式训练：1.（2007湖南卷7）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．2.（2013大纲卷15）椭圆的左右焦点分别为，焦距为若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于3.（2009重庆卷15）已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围______________4.（2004年北京卷18）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点距地面200km，远地点距地面350km已知地球半径（I）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；考点二：双曲线的定义、方程以及离心率【例1】（黄冈中学模考）已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点.若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（黄冈中学模考）如图，已知抛物线是的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过，则该双曲线的离心率为（） A． B． 2 C． D． 【例2】（2013年浙江卷9）是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）A．B．C．D．【例3】（2015年太原市二模12）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，若，,则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【例4】（2006年江西卷11）为双曲线的右支上一点，,分别是圆和上的点，则的最大值为（）A． B． C． D．【例5】（河北省衡水中学）点是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是()A．B．C．D．【例6】（2013重庆10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．变式训练：1.（2014重庆8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A.B.C.4D.2.（2006年福建卷11）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）3.（2015年江西省重点中学协作体二模14）已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离的取值范围是_______．考点三：抛物线的定义、方程【例1】（2015四川卷10）设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是（）.A.（1，3）B.（1，4）C.（2，3）D.（2，4）【例2】（2013江苏9）抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是变式训练：1.（2009宁夏卷14）已知抛物线的顶点坐标为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为___________2.（2012新课标卷22）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；考点四：弦长与面积问题【例1】（2013大纲卷22）已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）设过的直线与的左、右两支分别相交有两点，且证明：成等比数列【例2】（2013新课标1,21）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求。【例3】（2015年河南八校一模20）已知抛物线，过点作直线，交抛物线于两点，为坐标原点．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求三角形面积的最小值．【例4】（2015年江西省南昌市一模20）已知圆经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线．直线交椭圆于两点，且．(1)求椭圆的方程；(2)当三角形的面积取到最大值时，求直线的方程．【例5】（成都七中模考题）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左，右焦点分别为和，且，点在该椭圆上。求椭圆的方程；过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程。【例6】（黄冈中学模考）在直角坐标平面中，的两个顶点为平面内两点同时满足①,②==③（1）求顶点的轨迹的方程（2）设都在曲线上，定点的坐标为，已知,且·=0.求四边形面积的最大值和最小值.【例7】（安庆一中模考）设椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；（3）在（2）的条件下，试求的面积的最小值.变式训练：1.（2014新课标1,20）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积2.（黄冈中学模考）已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小1。（1）求曲线的方程；（2）过点①当的方程；②当的面积为时（为坐标原点），求的值。3.（东北师大附中模考）在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）过点分别作斜率为的两条直线，交于两点（点异于点），若，且直线与圆相切，求的面积．考点五：中点弦问题【例1】（2004年福建卷21）如图，是抛物线上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点.（Ⅰ）当点的横坐标为2时，求直线的方程；（Ⅱ）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离.【例2】（2006年北京卷19）椭圆的两个焦点为,点在椭圆上，且（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.【例3】（2006年福建卷20）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点。（I）求过点，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点的直线交椭圆于两点，并且线段的中点在直线上，求直线的方程。【例4】(2015年石家庄二模20）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点，且线段的垂直平分线交轴于点，求直线的方程。变式训练：1.（2009北京卷19）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值.2.（2013山东22）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.(I)求椭圆的方程;(II)为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值考点六：轨迹问题【例1】（2007湖南卷19）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．（1）证明，为常数；（2）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．【例2】（2009宁夏卷20）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【例3】（2014广东20）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.【例4】（黄冈中学模考）已知抛物线，点在抛物线上，过点作斜率为的两条直线，分别交抛物线于异于点的两点，且满足.（I）求抛物线的焦点坐标；（II）若点满足，求点的轨迹方程.【例5】（黄冈中学模考）设，分别是椭圆：的左，右焦点．（1）当，且，时，求椭圆的左，右焦点、．Q（x，y）MF1F2Oyx（2）、是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线Q（x，y）MF1F2Oyx变式训练：1.（2009安徽卷18）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的圆与直线相切，（1）求与；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型。2.（黄冈中学模考）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点.并设以弦为直径的圆恒过原点.(Ⅰ)求焦点坐标；(Ⅱ)若，试求动点的轨迹方程.考点七：定点、定值以及定直线定值【例1】（2011四川卷21）过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．【例2】（2013陕西22）已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍.（1）求动点的轨迹的方程;（2）过点的直线与轨迹交于两点.若是的中点,求直线的斜率.【例3】（2004年北京卷17）如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，,均在抛物线上（I）写出该抛物线的方程及其准线方程（II）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率【例4】（2007重庆卷文21）如题21图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；Ｏ题（21）图（2）若为锐角，作线段Ｏ题（21）图交轴于点，证明为定值，并求此定值．【例5】（2005年全国1卷22）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值。【例6】（2009辽宁卷文22）已知椭圆C以过点，两个焦点为（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值w【例7】（黄冈中学模考）在平面直角坐标系中，已知定圆（为圆心），定直线,作与圆内切且和直线相切的动圆，

(1)试求动圆圆心的轨迹的方程。（2）设过定圆心的直线自下而上依次交轨迹及定园于点，①是否存在直线，使得成立？若存在，请求出这条直线的方程；若不存在，请说明理由。

②当直线绕点转动时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

【例8】（2014江西卷20）如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.(1)证明：动点在定直线上；(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.变式训练：1.（2007湖北卷文21）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．AABxyNCO2.（2015新课标卷220）已知椭圆的离心率为,点在C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.3.（2010天津卷21）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为.（i）若，求直线的倾斜角；（ii）若点在线段的垂直平分线上，且.求的值.4.（2013江西20）椭圆的离心率，.（1）求椭圆的方程；（2）如图，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点。设的斜率为，的斜率为.证明：为定值。5.（2008重庆卷21）如题（21）图，和是平面上的两点，动点满足：（1）求点的轨迹方程;（2）设为点到直线的距离，若,求的值.定点【例1】（2007山东卷22）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2010江苏卷18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,.动点P满足,求点P的轨迹;②设，求点T的坐标;,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.【例3】(2005年山东卷22)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【例4】（2015年江西南昌二模20）已知椭圆过点是椭圆的左焦点，是椭圆上的两个动点，且成等差数列．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：线段的垂直平分线经过一个定点．变式训练：1.（东北师大附中模考）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．2.（2012福建卷21）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线：上.(1)求抛物线的方程；(2)设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点,证明以为直径的圆恒过轴上某定点.3.（成都七中模考）如图，已知椭圆：的上下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点（Ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；

（Ⅱ）求线段长的最小值；

（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．定直线1.（2006年湖南卷21）已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点.（Ⅰ）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线上，求的值及直线的方程.2.（湖南长郡中学）如图，椭圆的离心率为，分别为其短轴的一个端点和左焦点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点为，过定点的直线与椭圆交于不同的两点，直线交于点，证明：点在一条定直线上．3.（黄冈中学模考）已知分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，设是上半椭圆上满足的两点，其中（1）求此椭圆的方程及直线的斜率的取值范围；（2）设两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点，求证：点在一条定直线上，并求点的纵坐标的取值范围.变式训练：1.（成都七中模考题）已知椭圆的离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点，其中为椭圆的左、右顶点.问当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.考点八：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】（2012辽宁卷12）已知为抛物线x2=2y上两点，点的横坐标分别为4，2，过分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()(A)1(B)3(C)4(D)8【例2】（2014天津卷18）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为，上顶点为.已知.(1)求椭圆的离心率；(2)设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点，.求椭圆的方程.【例3】（2015福建卷19）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．【例4】（2013安徽卷21）已知椭圆的焦距为4，且过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.【例5】（2004年湖南卷22）如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于，两点，点是点关于原点的对称点（I）设点分有向线段所成的比为，证明:（II）设直线的方程是，过，两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.【例6】（2014湖北22）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.变式训练：1.（2012广东卷20）在平面直角坐标系中，已知椭圆C1：的左焦点为F1（-1,0），且点P（0,1）在C1上。（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：相切，求直线l的方程.2.（2014年南昌三模21）过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知（1）求椭圆的离心率（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程3.（2012湖南卷21）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设是椭圆E上一点，过作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求的坐标.4.（2009广东卷22）如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆,其中为椭圆的左顶点.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mG（1）求圆的半径;G（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，．证明：直线与圆相切．．5.（2014湖南卷20）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.考点九：共圆问题【例1】（2009天津卷文22）已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于两点，且（1）求椭圆的离心率（2）求直线的斜率（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值【例2】（2010浙江卷21）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点F在直线上.（I）若m=2，求抛物线C的方程;（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外.【例3】（2014大纲21）已知抛物线:的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.(1)求抛物线的方程；(2)过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，且四点在同一个圆上，求直线的方程变式练习：1.（2006年湖北卷21）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。2.（2011全国卷22）已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与两点，点满足.(1)证明：点在上；(2)设点关于点的对称点为，证明：四点在同一圆上.试卷第=page44页，总=sectionpages44页考点十：最值与范围问题【例1】（河北省衡水中学）在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点且与直线相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知点，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点或点）且与曲线交于两点，求面积的最大值，及此时直线的方程．【例2】（2007全国卷21）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围【例3】（2009浙江卷文22）已知抛物线上一点到其焦点的距离为.（1）求和的值；（2）设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.是的切线，求t的最小值;【例4】（2013年广东20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．【例5】（2009山东卷22）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;（3）已知,设直线与圆:(1<R<2)