大学高等数学课后习题答案

总习题六

★**1.求由曲线y?=(4-x)3与纵轴所围图形面积。

思路：曲线V=(4-x)3,(x44)关于x轴对称，又曲线的一条分支y=(4-x)3”是关于x的减函

数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。

★★★2.求介于直线x=0,元=2万之间、由曲线y=5拘不和y=cosx所围成的平面图形的面积。

解：S=^Isinx-cosx\dx

产/4访/4.

=I(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx+t(cosx-sinx)dx=4A历

k/4

★★★3.直线y=x将椭圆X?+3y2=6y分成两块，设小块面积为4,大块面积为6,求4/8的

值。

思路：由于y=x和/+3/=6y的交点为(0,0)及(3/2,3/2),3/2>l,因此面积较小的

部分用y型做较简单，见图6-3

y

图6-3

0<y<3/2

解：较小部分区域表达为：D：<

Ay<x<J6y_3y2

x=-75cosr

网2/---------------7y=sin/+l9G3

力/6

则A={(46y-3y--y)=£p^cos-^/--=—

B=6兀力正兀己一一邙二上半

34348万+36

***4.求椭圆X?+；y2=1和;+y2=1公共部分的面积。

思路：由图形的对称性可得所求面积是x=0和y=x及;;/+》2=I所围在第•象限内区域面积

的8倍，见图6-4

图6-4

0<y<V3/2

★★★5.求由曲线x=acos，,y=asin”所围图形面积。

思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求而枳是第一象限内区域。।面积的4倍

0<x<a

解：,(设y=y(x)是星形线函数)

[0<>1<y(x)

E,r=acos3fx)

S==(y(x)dxq,4Jsin3Zx3cos2r(-sinz)^

4SDI

=『2^|-(sin221-cos2fsin?2f)力

3/fw2l-cos4r,3/皿.？、­、32

=-----------dt-----sm2td(sin2t)=—7ra

2小241)8

★★★6.圆夕=1被心形线夕=l+cos。分割成两部分，求这两部分的面积

思路：设分割成的右边图形为。，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分面积的2倍，见图

6-6

图6-6

解：夕=1和2=1+COS。相交于。=±乃/2,

O<0<7r/2"/2<0<71

・・・£＞］由A、8两部分组成,A：<,B：<

I0</7<1I0<夕Wl+cos。

S。=2［%"+aJ(1+cos0)~cl=—7T—/2»左边部分的面积S万=2——

兀

★★★★7.设y=sinx,04x«耳，问f取何值，右图中阴影部分的面积S］与S2之和S最小？最大？

解：

5,=J(sin/-sinx)6/x,S2=£(sinx-sinr)Jx,5(r)=5)+52,

S'Q)=(tsint\-sinr-sint-[(^-r)sint]f=(2r-])cosf=0,得才=?，

比较S(0)=r/2sinxdx=1,S(-)=V2-1,S(-)=--1,

422

・•・"max=t5min=V2-1

★★★8.由曲线y=1-X2（04X«1）与x,y轴围成的区域，被曲线y=>0）分为面积为相等

的两部分，求。的值，见图6-8

C-1d

解：两曲线y=1一厂(OWxWl),y=ax2(a>o)交于：(,-----),

Jl+a1+〃

0«xW]，

3：Ji+a；D2:<

ax<y<I-x"y/l-y<x<

-ax2)dx^j_

3<l+a

“=户（历-启叱（一如>严-左产）：=|2

3dl+a

由必=5修计算可得a=3

★★★9.求星形线%2/3+y213=a2'\a>0）所围图形绕X轴旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：由于星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积V是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形

绕x轴旋转•周形成的旋转体积匕的两倍

解：根据旋转体积的公式：V=2V,=21犯2公，利用星形线的参数方程》=。（：；05，,？=。41?/

进行变量代换，

/2

可得V=2f7ia~sin6rx3tzcos2tdcost=一6加"(1-cos2O3cos2tdcost

Jr/2

105

★★★10.求由圆+()，-5)2=16绕X轴旋转而成的环体体积。

思路：可以对照y=/(x)绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6T0

解：该体积是曲线x=J16_(y_5)2,(14y49)及X轴所围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍

=160储

★★★11.证明：由平面图形04。《％</?,0«></(》)绕丫轴旋转而成的旋转体体积为

V=2"jxf(x)dx

知识点：元素法的应用

证明：由平面图形04。4x46,04y4/(x)绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作y=/(x)绕

y轴旋转所得的侧面积在a<x<b范围内叠加而成，dV=2时(x)dx

V=2zrfxf(x)dx<.

★★★12.曲线y=(%—1)(2—工)和乂轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体

积。

思路：用y=/(X)绕y轴旋转的旋转体体积求法

解：平面图形为：曲线y=(x—l)(2—x),(l<x<2)和X轴围成

V=1-1)(2-x)dx-y

★*★★13.设抛物线y-ax'+%x+c过原点，当OWxKl时，y>0,又已知该抛物线与直线x=1

及x轴所围图形的面积为1/3,求a,6,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

解：因为抛物线y=aX2+/JX+C过原点，所以c=0,又当OWxKl时，y>0,所以该抛物线与

"a,、，ab1,2八、

直线x=l及x轴所围图形的面积SJ(6ix+bx)dx=-4~~=—,得b=1(1—ci)t

乂此图形绕x轴旋转•周而成的旋转体的体积丫（。力）=，7r(ax2+bx)2dx=乃(g+g+g)'

2

t2a-〃(1—。)4(1—tz),41

将b=—(1-a)代入可得丫(Q)=zr(—+-------+-------),V(a)=-----a+—=0,

353275x2727

得到：a=--,因为只有一个驻点，・•.可得满足所给条件的〃=—9,b=a,c=00

442

★★★★14.在由椭圆域苫2+乙41绕y轴旋转而成的椭球体上，以y轴为中心轴打一个圆孔，使剩卜.

4

部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。

知识点：旋转体体积

思路：打•个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积V是由xoy坐标面上，如图所示的平面

图形绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-14

3

X▼

图6-14

解：设圆孔的半径为r则在xoy面上曲线/+匕.=1和x=尸的交点（，，士2^/1-r2）,

4

-2%--<),<2^/1-r2

平面图形由DO2减。2部分组成，'

03小？

DC=匕=£『汉1-？)办，匕3x27^7

2

8万o2a3/s21f2V4TT

,-.V=^_y2=_(i-r),由条件y=/x2j%(l—亍)dy=5，

可得：］-「2=-^--=>r=71-V1A4=>2r=74-V16

22/3

★★★15.求由柱体%2+)/«。2与+%24a2相贯部分的体积。

思路：由立体图形的对称性可知所求体积为第象限内体积匕的8倍，用垂直于x轴的平行截面截匕，

可得截面面积A(x),以此计算体积匕，见图6-15

解：垂直于x轴的平行截面截匕，得截面为长:y=\la2-x2；宽：z=ylci2-x2的长方形。

AM=a2-x2,V=8V,=8f(a2-x2)Jx=ya3

16.将曲线y=绕X轴旋转得一旋转体

l+x2

★★(1).求此旋转体体积几

解：•函数y=-'—,的定义域:xNO,

-l+x2

400

7t

・・・V=£7iy2dx=7i

o7

★★★(2).记此旋转体介于X=0与x=a之间的体积为V(a)，问a为何值时有丫(a)=几/2。

解：=f7iy2dx=乃(----------要使V(a)=%/2,

J>-2(1+x2)021+。2'

兀171

只要一(1一)=-=>a=1

2\+a~4

★★★17.将抛物线y=_ax在横坐标0与c(c>a>0)之间的弧段和x=c以及x轴所围图形绕x

轴旋转，问c为何值时，所得旋转体体积V等于弦OP(P为抛物线与x=c的交点)绕x轴旋转所得

锥体体积。

思路：抛物线经过原点，并且开口向上，如图6T7

图6-17

解：心卜，—32dX=—理+军)

经(0,0)和(c,c2-ac)的弦OP方程

在1

为：y=(c-a)x=>V锥=J乃(c-aT/dx=一农二。一a)),

2X

★*★★18.计算半立方抛物线y2=1(工一1)3被抛物线>2=§截得的一段弧的长度。

知识点：求平面弧长

思路：作简图确定弧段的范围，代入公式，见图6-18

y▲

图6-18

2Y2r

解：y2=1)3和=§的交点为：—(x-1)3=—=>2x3-6x2+5x?-2=0

将x=2代入方程可知是方程的根，，分解因式可得

—6尤~+512—2—(x—2)(2x~—2x+1)=0,方程只有1~~'解x=2

交点：(2,土-)，由图形关于x轴对称...5=2/+yr~dx,vy2=—(x—I)3

两边对x求导：2yy'=2(x-l)2=>y,2="」，=—(x-1)

y2

★★★19.证明双纽线「2=2。2cos2。的全长L可表示为L=

Vl-x4

证明：根据双扭线的对称性，L=4L],其中心是双扭线在第一象限内的一段弧长,

★★★20.在摆线x=a（f-sinf）,y=a（l-cosf）上,求分摆线第••拱成1：3的点的坐标。

知识点：平面曲线的弧长

解：摆线第一拱的f的范围：（0,2乃），设在小处分摆线成1：3,则根据弧长参数公式,可得：

।f]sin/72|力

2

3「卜in"21力3

:"2w[0,扪，

,?sin"2山女红_立q

「sin"2力3l+cosf0/233°"。322

*0

****21.求曲线y=y（x）,该曲线上两点（0,1）及（x,y）之间的弧长为s=Jy?-1。

解：由条件：曲线上两点（0,1）及（x,y）之间的弧长L=jjl+y'2dx=Jy，-1,

等式两边对x求导：Jl+<2=-v-v=y'=±7y2-1，根据第十二章的微分方程求解得到:

7>,2-i

1+e2x

*：y=y(x)经过(0,0),・••代入求得c=1=>y=丁r

★★★22.设有半径为R的平面圆板，其密度为〃=422+3P，P为圆板上的点到圆板中心的距离,

求该圆板的质量M.

知识点：元素法在物理上的应用

思路：由于任一点的密度〃只和该点到圆板中心的距离有关，设平面圆板的方程为P=夫，则在圆环

P=「至夕=r+dr上的每一处都近似有〃(r)=4r2+3r.

解：0=r至2=r+dr的圆环质量微元：dM-(4r2+3r)x2/n-dr,

nM=/2万(4d+3r2)dr=2^?3(7?+l)

★★23.一物体按规律x=cf3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移至

x=a时，克服媒质所做的功。

知识点：元素法在物理上的应用

解：尸=HZ?,v=/=尸=kx'2=9h2J=>卬=[Fdx^Tike3tbdt

:NSLk"屋3

7

★★★★24.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力和铁钉进入木板的深度成正比，铁钉在第一次捶

击时将铁钉击入1cm,若每次捶击所作的功相等，问第n次捶击时又将铁钉击入多少？

知识点：元素法在物理上的应用

解：设木板对铁钉的阻力为尸；铁钉进入木板的深度为x,则尸=ZxnW|=fkxdx=-,

」)2

则由每次捶击所作的功相等的条件可得Wn=Pkxdx=K(x；—/])=人—片]=1,

比i22

Xj=L/.x2=V2,x3=6,没Xk=VT,则由x；+i=1+x；=1+k=>xk+l=女+1

・••由归纳法得证：xn=4n=>xn-=Vn-Vn-1(cm)

25.以每秒。的流量往半径为R的半球形水池内注水。

★★★(1).求在池中水深力(0<%<R)时水面上升的速度

知识点：相关变化率

解：设当时间1时，池中水深6,半球形水池可看作xoy面上曲线x2+(y-R)2=R2绕y轴旋转一周

而成，则由时间，时注入水量等于水深为h的球冠体积可得：

14西-(y-R)2)dy=17i(2Ry-y2)dy=at,该等式两边对『求导

a

=>7i(2Rh—h2)hf=a=>hf=

兀QRh-h2)

★★★(2).若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？

知识点：元素法在物理上的应用

解：重设xoy面上的方程：X=J/?2_y2,则将球形水池中y至y+dy体积的水抽出水面做功

dW-pg7ry2xdxnW=fpg兀(R2-x2)xdx-爆个

(其中「是水的密度，g是重力加速度)

★★★26.以等腰梯形闸门，梯形的上下底分别为50m和30m,高为20m,若闸门顶部高出水面4m,求闸门

一侧所受的水的静压力。

知识点：微元法在物理上的应用

思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，见图6-26,等腰梯形腰的方程则为：y=-gx+25,

因此在x至x+dx的闸门条带上，所受的静压力为dP=yx2(-2+25)x(x-4)dx

=--x+25

2

X

解：・・・dP=7x2(-5+25)x(x-4)dx,

在0X—4=/

工尸=[y(-x+50)(x-4)dx=(46?-t2)dt-4.522x103/(kg)

★★★27.设有一半径为A,中心角为9的圆弧形细棒，其线密度为常数夕，在圆心处有一质量为机的

质点M,试求该细棒对质点M的引力。

知识点：微元法在物理上的应用

解：设弧棒的方程为极坐标系下：r=/?,6>€(一夕/2,0/2),见图6-27,

0=(p/2

d+dO

0

夕=一夕/2

则19至6+1。段的细棒对质点M在X轴(也为极轴)正向上的的引力为：

kmpRdO„门/2kmp,Ikmp.(p

'：dF=­J——xcos'nnF=——cos3nd0n=------sin—,

rR2Xr3R/?2

.,•根据弧棒关于x轴的对称性可知Fy=0

★★★★28.设有半径为。面密度为。的均匀圆板，质量为〃？的质点P位于通过圆板中心。且垂直于圆

板的直线上，PO=b,求圆板对质点的引力。

知识点：微元法在物理上的应用

解：设半径为a面密度为o■的均匀圆板区域为：OWpWa,见图6-28,

▲

图6-28

对于夕=r和夕=r+dr所夹环带区域，由于对称性，只有在垂直于圆板的方向才有引力:

kmax27DMdrb「「Zjikmbordr

dF=----------------x=>F=严=2/加(r(l——/)

(八⑹VP7F

课外习题

★★★*1.求曲线y=五，五+J]=1以及。x轴所围成图形的面积

思路：可以根据第四章的判断函数单调性和作图等知识求出曲线五+J9=1的单调区间或画出曲线的

图形，再确定x,y的变化范围，见图6-(1)

图6-(1)

解：由曲线方程J7+J7=l可知：04x41,

且万=1-nV=1+工-26ny'=1一上■,

.•.当04x41时有：y=l+x-24单调降,

又两曲线的交点为：＜二：二2G"二号『=昔，舍去的解可得在

7_o3_

0<x<1范围内的交点是工=--------,y=--------,，而yVx是一个单调增函数，

22

...该图形区域可表达为:

y2<x<1+y-2y[y

11_al-c

所求S=(1+y-2y[y-y2)dy=---:——

力12

★*★★2.求曲线(》2+＞2)2=2。2町所围成图形的面积

思路：该曲线的参数式为P之=。2sin2。，它是伯努利双纽线(见书后附录H),可用对称性求该图形

的面积

解：所求面积S=2S],S]是该曲线在第一象限内围成的区域面积,

0<6»<—j$2sin2田6=/

S1所占区域可表达为：＜2A5=25,=2

0<r<ajsin20

★★★★3.设/(x)=力,(xN—1),试求曲线f(x)与Ox轴所包围的面积

思路：首先需要确定了(x)的大致图形，然后才能确定的变化范围

解:驻点X=±l(舍尤=-1)得唯•驻点x=l

当xWl时，/(x)单调增，当xNl时，/(x)单调降，又/⑴=£(1一协力=1J(T)=O；

X2/八

3(X21),

.•./(x)=0nx=l士后，舍去x=l—痣，得/(x)和Ox轴所围图形在0Wx4l+行内,

C严应，1/5+4啦

・••所求面积S=I(—Fx----)dx--------

』)226

★★★★4.如图6-(4),在曲线y=e-*,(xNO)上面作一个台阶曲线，台阶的宽度为1,试求图中无

穷多个阴影部分的面积之和

解：台阶曲线可表示为：y=e"(&4》<女+1),&=0,1,2…，设第％个阴影部分的面积为S(k),

S(Z+1)=j"(e"一e-x)dx=e"+e《+D—**=/*+匕

所求S=S(0)+S(l)+5(2)H----FS(k)H—=0-'+e"H—e~kH—=--—(等比级数)

e-1

★★★★5.设y=/(x)是区间［0,1］上的任一非负连续函数。(1)试证存在项)€(0』)，使得在区间

［0,演)］上以/(%))为高的矩形面积，等于在区间屏0，1］上以y=/(x)为高的曲边梯形的面积。(2)

又设了(X)在区间(0,1)内可导，且/'(x)〉一也»,证明(1)中的与是唯的

X

证即要证存在与使得

(1)：G(0,1),ff(x)dx=x0/(x0)

品0

设函数/7(幻=8］/(》)右,/7(0)=/(1)=0,...??。)在［0,1］上用罗尔定理可得：

使得尸(%)=

3x06(0,1),f/(x)Jx-x0/(x0)=0=>f/(x)t/x=x0/(x0)

(2)设G(x)=［fMdx-xfM,G'(x)=-2f(x)-xfXx),•••/(x)>—

・•・G'(x)v0,G(x)单调降，，⑴中的是唯一的

★(1)对曲线)，=/(%),试在横坐标。和Q+力之间找一点使在这点两边有阴影部分的

面积相等(如图6-(6))(2)在(1)中设曲线y=记g=。+①。其余的如(1)所述，试

求。井计算lim。=?

y

X

0

图6-(6)

解(1)：要使x=4处两边有阴影部分的面积相等，即要：

f(/(X)-f(a))dx=「"(/(〃+h)-f(x))dx=>

ff(x)dx-f(a)卷一a)=(a+h-^)f(a+//)-f/(x)dx-£"f(x)dxn

(u+h

af(a)-(a+h)f(a+/?)+Jf(x)dx=f(a)&-f{a+/?片=

af(a)一(a+h)f(a+h)+£''f(x)dx

"f(a)-f(a+h)

n+h

aea—(6Z+h)eah+,e'dx(h-l)e"+1

(