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文档简介
浙江省杭十四中2025年高三下学期第二次统一检测试题数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.2.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.3.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数4.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.5.在中,点D是线段BC上任意一点,,,则()A. B.-2 C. D.26.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.127.给出下列三个命题:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要条件;③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.38.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加9.已知集合,集合,则().A. B.C. D.10.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%11.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.360二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知i为虚数单位,复数,则=_______.14.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为_______.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.16.在平面直角坐标系中,已知圆及点,设点是圆上的动点,在中,若的角平分线与相交于点,则的取值范围是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.18.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.19.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.20.(12分)已知等比数列是递增数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:22.(10分)已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求的最小值;(2)证明:.(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.2.B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.3.D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.4.A【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.5.A【解析】
设,用表示出,求出的值即可得出答案.【详解】设由,,.故选:A本题考查了向量加法、减法以及数乘运算,需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义,属于基础题.6.B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B7.C【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.故假命题有①③.故选:C本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.8.D【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.9.A【解析】
算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.10.D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.11.D【解析】
连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.【详解】连接,则,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根据双曲线的定义,得,所以双曲线的离心率故选:D本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.12.A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【详解】.故答案为:.本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.14.2【解析】
利用AB中有且只有一个元素,可得,可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素,所以,即.故答案为:.本题主要考查集合的交集运算,集合交集的运算本质是存同去异,侧重考查数学运算的核心素养.15.2【解析】
由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.16.【解析】
由角平分线成比例定理推理可得,进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标,代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程,再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离,所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形,因为AQ是的角平分线,由角平分线成比例定理可知,所以.设点,点,即,则,所以.又因为点是圆上的动点,则,故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆,又即为该圆上的点与原点间的距离,因为,所以故答案为:本题考查与圆有关的距离的最值问题,常常转化到圆心的距离加减半径,还考查了求动点的轨迹方程,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)减区间是,增区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)当时,求得函数的导函数以及二阶导函数,由此求得的单调区间.(2)令求得,构造函数,利用导数求得的单调区间、极值和最值,结合有两个极值点,求得的取值范围.将代入列方程组,由证得.【详解】(1),,又,所以在单增,从而当时,递减,当时,递增.(2).令,令,则故在递增,在递减,所以.注意到当时,所以当时,有一个极值点,当时,有两个极值点,当时,没有极值点,综上因为是的两个极值点,所以不妨设,得,因为在递减,且,所以又所以本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18.(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】
(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,所以,即,取,则.所以所以此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,属于较难题.19.(1)最小正周期为,单调递增区间为;(2).【解析】
(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,解不等式可求得该函数的单调递增区间;(2)由求得,由得出或,分两种情况讨论,结合余弦定理解三角形,进行利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1),所以,函数的最小正周期为,由得,因此,函数的单调递增区间为;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①当时,即,则由,,得,则,此时,的面积为;②当时,则,即,则由,解得,,.综上,的面积为.本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解,同时也考查了三角形面积的计算,涉及余弦定理解三角形的应用,考查计算能力,属于中等题.20.(1)(2)【解析】
(1)先利用等比数列的性质,可分别求出的值,从而可求出数列的通项公式;(2)利用错位相减求和法可求出数列的前项和.【详解】解:(1)由是递增等比数列,,联立,解得或,因为数列是递增数列,所以只有符合题意,则,结合可得,∴数列的通项公式:;(2)由,∴;∴;那么,①则,②将②﹣①得:.本题考查了等比数列的性质,考查了等比数列的通项公式,考查了利用错位相减法求数列
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