第六章 排队系统建模与仿真(New)

一、排队系统的基本概念第六章排队系统建模与仿真二、到达时间间隔和服务时间分布三、排队系统的分析四、排队系统的仿真排队系统？到达的顾客要求服务内容服务机构1、不能运转的机器修理修理技工2、病人诊断或手术医生（或手术台）3、电话呼唤通话交换台4、提货单提取存货仓库管理员5、到达机场的飞机降落跑道6、进入我方阵地敌机我方高射炮进行射击我方高射炮

到达模式服务机构排队规则一、排队系统的基本概念排队系统的组成1排队系统的三个基本组成部分1动态实体排队服务机构到达按规则接受服务离开（1）平均到达间隔时间T0（2）平均到达速度λ（3）到达间隔时间的分布函数A（t）一、排队系统的基本概念到达模式（1）平均服务时间Ts（2）平均服务速度μ（3）服务时间的分布函数B（t）一、排队系统的基本概念服务机构二、到达时间间隔和服务时间分布定长分布1动态实体到达间隔的时间为常数动态实体接受服务的时间为常数泊松分布2满足下列四个条件的到达分布称为泊松到达分布：

平稳性。独立性。普通性。有限性

对于这种到达分布，在时间t内到达k个动态实体的概率Vk(t)遵从泊松分布，即：二、到达时间间隔和服务时间分布爱尔朗分布3设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同参数kλ的负指数分布，那么T=v1+v2+…+vk的概率密度为：称T服从k阶爱尔朗分布。其数学期望和方差为：二、到达时间间隔和服务时间分布f(t)1/λt例如：串列的k个服务台。每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布，那么以动态实体走完这k个服务台总共需要的服务时间就服从k阶爱尔朗分布。二、到达时间间隔和服务时间分布正态分布4二、到达时间间隔和服务时间分布12c……多队-多服务台（并列）排队系统单队-多服务台（并列）排队系统12c…12C多服务台（组合式）排队系统12c…12c…排队规则多服务台（串列）排队系统系统处于“忙”时，动态实体进入队列的三种处理方法：

损失制等待制先到先服务（FIFO、FCFS）后到先服务（LIFO）随机服务（GIRO）优先权服务（PR）混合制排队规则排队规则（1）服务强度（2）实际业务强度u‘（3）服务设备利用率队列的度量队列的度量三、排队系统的分析随机排队系统的运行指标：在系统中动态实体数量的期望值Ls，在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的期望值Lq。在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws，在队列中动态实体等待时间（排队时间）的期望值Wq。其中：X——表示顾客相继到达时间间隔的分布

Y——表示服务时间的分布

Z——表示服务台的个数

A——表示系统容量B——表示顾客源的数目

C——表示服务规则

排队模型的分类（Kendall记号）模型表达在排队系统中一般约定：如果Kendall记号中略去后3项时，即是指

M——负指数分布M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时间为负指数分布，单服务设备的模型。模型表达（例）单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/∞/FCFS)1（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。（2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先服务。（3）服务机构。单服务台，各动态实体的服务时间是相互独立的，服从相同的指数分布。(4)到达间隔时间和服务时间是相互独立三、排队系统的分析三、排队系统的分析单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)21、分析标准的M/M/1模型时，首先要求出系统在任意时刻t的状态n(系统中有n个顾客）的概率，它决定了系统运行的特征。2、因已知到达规律服从参数的泊松过程，服务时间服从参数为的负指数分布，所以在[t,t+△t)时间区间内分为：（1）有一个顾客到达的概率为；没有顾客到达的概率是（2）当有顾客在接受服务时，1个顾客被服务完了（离去）的概率，没有离去的概率就是（3）多于一个顾客的到达或离去的概率是可以忽略的。情况在时刻t顾客数在区间（t,t+△t)在时刻t顾客数到达离去(A)n××n(B)n+1×○n(C)n-1○×n(D)n○○n在时刻t+△t，系统中有n个顾客（n>0)存在下列四种情况21Pn(t）表示t时刻系统中恰有n人。（A）Pn(t)·(1－

t)·(1－

t）（B）Pn+1(t)·(1－

t)·

t（C）Pn－1(t)·

t·(1－

t）（D）Pn(t)·

t·

t以上各式省略了

t的无穷小项。情况t时刻顾客数在区间［t,t+

t）t+

t时刻顾客数到达离去An不发生不发生nBn＋1不发生发生nCn－1发生不发生nDn发生发生n

由此可得：

Pn

(t+

t)=Pn(t)(1－

t－

t）+Pn+1(t)t+Pn－1(t)·

t+o

(

t)［Pn

(t+

t)－Pn

(t)］/

t=

Pn－1(t)+

Pn+1(t)－(

+)Pn

(t)+o

(

t)/

t

令

t趋于0，有下列微分差分方程：d［Pn

(t)］/dt=

Pn－1(t)+

Pn+1(t)－(

+)Pn(t)（当n=0时只有（A）和（B））d［P0(t)］/dt=-

P0(t)+

P1(t)在稳定情况下，d［Pn

(t)］/dt=0。有：－

P0+

P1=0

Pn－1+

Pn+1－(

+)Pn

=0n≥1求解上面两式的递推方程，得到：0

由上式，可得下式：三、基本计算1.队长（系统中平均顾客数）Ls

∞Ls=∑nPnn=0

∞∞=∑nρn

－

∑nρn+1n=0n=0=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ)(ρ=λ/μ)2.排队长（系统中等待服务平均顾客数）———Lq

∞

Lq=∑(n－1)Pnn=1=Ls－ρ

=ρ2/(1-ρ)3.逗留时间关于顾客在系统中的逗留时间Ws服从为(μ-λ)的负指数分布。这样就求到顾客在系统中的平均逗留时间：4.等待时间：（顾客在系统中平均等待服务时间）WqWq=Ws－1/=ρ/(μ-λ)以上计算可以看出，满足Little公式：服务强度：三、排队系统的分析系统状态为n的概率：12系统的运行指标(p154)：在系统中的平均顾客数（系统的期望值）3在队列中等待的平均顾客数（队列长度期望值）4三、排队系统的分析在系统中顾客逗留时间的期望值Ws5在队列中顾客等待时间的期望值6三、排队系统的分析案例1：三、排队系统的分析某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到达过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间服从负指数分布，平均需要6min。试求（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务时间（8）顾客在店内等待时间超过10min的概率案例2：三、排队系统的分析假设在一个单座、男女皆宜的美发店中，到达间隔时间和服务时间都服从指数分布。和的值分别为每小时2个和每小时3个，

1、求系统到达稳态后，系统服务强度？2、没有人到达概率，及达到1个、2个、3个人的概率？3、系统中平均顾客数？队列的平均长度？案例：三、排队系统的分析解：三、排队系统的分析系统中平均顾客数：队列的平均长度为：三、排队系统的分析每个顾客在队列中花费的平均时间为：系统中平均逗留时间为：三、排队系统的分析例题。到达病人数到达的病人数n出现的次数fn01012822931641056大于等于61合计100三、排队系统的分析例题。手术时间完成手术时间t/h出现的次数ft0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~0.890.8~1.061.0~1.25大于1.20合计100解：（1）计算平均到达速度：平均手术时间：平均服务速度：

（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法的检验，可以认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的负指数分布。三、排队系统的分析（3）服务设备利用率

因为ρ=0.84<1，表明动态实体到达系统的速度比系统的服务速度慢。所以，到达系统的每一个动态实体都可以得到服务。另外，说明服务机构（手术室）有84%的时间繁忙（被利用），有16%的时间空闲。三、排队系统的分析（4）系统的指标计算在病房中病人数（期望值）：排队等待病人数（期望值）：病人在病房中逗留的时间（期望值）：病人在排队列中等待时间（期望值）：三、排队系统的分析一、排队系统的基本概念第五章排队系统建模与仿真二、到达时间间隔和服务时间分布三、排队系统的分析四、排队系统的仿真单通道排队系统中的事件：动态实体到达系统动态实体离开系统系统状态：动态实体数，即顾客数服务员“忙”、“闲”状况。四、排队系统的仿真四、排队系统的仿真顾客到达时间间隔（Ai）服务员空闲否？开始服务服务完毕顾客离去排队等待经过SiYN仿真方法：手工仿真仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台无服务对象。仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。四、排队系统的仿真?

事件何时出现？在仿真中，通过随机数来产生！四、排队系统的仿真到达事件—统计特性1顾客到达间隔时间服从1-8分钟的均匀分布。到达间隔时间（分钟）概率累计概率随机数区间10.1250.125001~12520.1250.250126~25030.1250.375251~37540.1250.500376~50050.1250.625501~62560.1250.750626~75070.1250.875751~87580.1251.000876~000（0，1）均匀分布四、排队系统的仿真到达事件的产生—到达时间间隔的确定顾客随机数到达时间间隔（分钟）顾客随机数到达时间间隔（分钟）1--6290329638798883627688357411519153259788103203四、排队系统的仿真服务事件—统计特性2服务事件：服务时间为1－6分钟，其概率为0.10,0.20,0.30,0.25,0.10,0.05服务时间（分钟）概率累计概率随机数区间10.100.1001~1020.200.3011~3030.300.6031~6040.250.8561~8550.100.9586~9560.051.0096~00（0，1）均匀分布四、排队系统的仿真服务事件的产生—服务时间确定顾客随机数服务时间（分钟）顾客随机数服务时间（分钟）17446694201179153844877443339935527210583四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417853434390548744141450429254345502701033465053470463594418四、排队系统的仿真构造仿真表3顾客到达间隔时间服务时间到达时刻服务开始时刻服务结束时刻等待时间逗留时间服务员空闲时间1-40040402818890143641414180454131518213605822323250226342626300417