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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()A. B. C. D.2.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.3.如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于().A. B. C. D.4.设,集合,则()A. B. C. D.5.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立6.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加7.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()A.2 B. C. D.8.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.909.()A. B. C. D.10.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知复数,则()A. B. C. D.12.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的左右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于.若,则双曲线的离心率为_________.14.已知的展开式中含有的项的系数是,则展开式中各项系数和为______.15.设f(x)=etx(t>0),过点P(t,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,若S(1,f(1)),则△PRS的面积的最小值是_____.16.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的标准方程为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.18.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.19.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?20.(12分)已知多面体中,、均垂直于平面,,,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为时,.(1)求抛物线C的方程;(2)设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.22.(10分)在四边形中,,;如图,将沿边折起,连结,使,求证:(1)平面平面;(2)若为棱上一点,且与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】,,或(舍).,,.当,时;当,时;当,时,,所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.2.A【解析】

先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.A【解析】

由平面向量基本定理,化简得,所以,即可求解,得到答案.【详解】由平面向量基本定理,化简,所以,即,故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,其中解答熟记平面向量的基本定理,化简得到是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,数基础题.4.B【解析】

先化简集合A,再求.【详解】由得:,所以,因此,故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.5.C【解析】

写出命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题,结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知,命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立,则当时该命题也不成立”,由于当时,该命题不成立,则当时,该命题也不成立,故选:C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用,解题时要写出原命题的逆否命题,结合逆否命题的等价性进行判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.6.C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.7.D【解析】

以BC的中点为坐标原点,建立直角坐标系,可得,设,运用向量的坐标表示,求得点A的轨迹,进而得到关于a的二次函数,可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系,可得,设,由,可得,即,则,当时,的最小值为.故选D.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示,考查转化思想和二次函数的值域解法,考查运算能力,属于中档题.8.A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.9.B【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.10.B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.11.B【解析】

利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.12.C【解析】

先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

由已知可得,结合双曲线的定义可知,结合,从而可求出离心率.【详解】解:,,又,则.,,,即解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系,分析出.关于圆锥曲线的问题,一般如果能结合几何性质,可大大减少计算量.14.1【解析】

由二项式定理及展开式通项公式得:,解得,令得:展开式中各项系数和,得解.【详解】解:由的展开式的通项,令,得含有的项的系数是,解得,令得:展开式中各项系数和为,故答案为:1.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式,属于中档题.15.【解析】

计算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ∥y轴,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的导数f′(x)=tetx,∴过Q的切线斜率k=t,设R(r,0),则k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面积为S,导数S′,由S′=0得t=1,当t>1时,S′>0,当0<t<1时,S′<0,∴t=1为极小值点,也为最小值点,∴△PRS的面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.16.【解析】

设双曲线方程为,代入点,计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为,则设双曲线方程为:,代入点,则.故双曲线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线,设双曲线方程为是解题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)减区间是,增区间是;(2),证明见解析.【解析】

(1)当时,求得函数的导函数以及二阶导函数,由此求得的单调区间.(2)令求得,构造函数,利用导数求得的单调区间、极值和最值,结合有两个极值点,求得的取值范围.将代入列方程组,由证得.【详解】(1),,又,所以在单增,从而当时,递减,当时,递增.(2).令,令,则故在递增,在递减,所以.注意到当时,所以当时,有一个极值点,当时,有两个极值点,当时,没有极值点,综上因为是的两个极值点,所以不妨设,得,因为在递减,且,所以又所以【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18.(1)(2)点在以为直径的圆上【解析】

(1)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)设点,,则,,求出直线的方程,进而求出点的坐标,再利用中点坐标公式得到点的坐标,下面结合点在椭圆上证出,所以点在以为直径的圆上.【详解】(1)由题意可知,,解得,椭圆的标准方程为:.(2)设点,,则,,直线的斜率为,直线的方程为:,令得,,点的坐标为,,点的坐标为,,,,又点,在椭圆上,,,,点在以为直径的圆上.【点睛】本题主要考查了椭圆方程,考查了中点坐标公式,以及平面向量的基本知识,属于中档题.19.(1);(2)当BP为cm时,α+β取得最小值.【解析】

(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,根据得到,解得答案.(2)设BP=t,则,故,设,求导得到函数单调性,得到最值.【详解】(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,则,化简得,解之得,或(舍),(2)设BP=t,则,,设,,令f'(t)=0,因为,得,当时,f'(t)<0,f(t)是减函数;当时,f'(t)>0,f(t)是增函数,所以,当时,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因为恒成立,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因为y=tanx在上是增函数,所以当时,α+β取得最小值.【点睛】本题考查了三角恒等变换,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.20.(1)见解析;(2).【解析】

(1)取的中点,连接、,推导出四边形为平行四边形,可得出,由此能证明平面;(2)由,得平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)取的中点,连接、,、分别为、的中点,则且,、均垂直于平面,且,则,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,设,则到平面的距离,,因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.21.;【解析】

根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合,即可求出抛物线C的方程;设,的中点为,把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出的取值范围,

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