第七章　§7.7　向量法求空间角-2025届高中数学大一轮复习练习

一、单项选择题1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(6),3)3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)5．(2024·郑州模拟)如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且AC∥OB，OP＝AB＝eq\r(2)OA，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,4)6．(2023·杭州模拟)若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点(如图1)，沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P(如图2)，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),2)二、多项选择题7．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1＝(1,0,0)，n2＝(－eq\r(3)，0,1)，则二面角A－BD－C的大小可能为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)8．(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC中，AE＝2eq\r(3)，EF＝4，B为EF中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则()A．三棱锥P－ABC的体积为eq\f(4\r(2),3)B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6)C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(1,3)D．三棱锥P－ABC外接球的半径为eq\f(\r(22),2)三、填空题9．(2023·天津统考)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为________．10．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C所成角的余弦值是eq\f(4,5)，则棱AB的长度是________．11．(2023·洛阳模拟)二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则平面α与平面β的夹角为________．12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL所成角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ所成的最小角为θ，则sinθ的值为________．四、解答题13.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．14．(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB，现将△AD