多元函数微积分省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

多元函数微积分

第一节空间解析几何介绍第二节

多元函数基本概念第三节

偏导数和全微分第四节

多元复合函数求导法则第五节

隐函数求导法则河南农业职业学院《高等数学与工程数学》1/189第六节

多元函数极值第七节

二重积分概念和性质第八节

二重积分计算第九节

对坐标曲线积分2/189

第一节空间解析几何介绍

空间解析几何:

用代数方法讨论空间图形

先修知识：向量代数后续知识：多元微积分3/189一、空间直角坐标系

二、空间两点间距离

三、空间曲面及其方程

四、二次曲面

主要内容:4/189

基本要求:

了解空间直角坐标系，空间点坐标；掌握空间两点间距离公式了解空间曲面（平面）方程概念，由平面及常见曲面方程作出其图形

重点:

由平面及常见曲面方程作出其图形5/189一、空间直角坐标系yzOx空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形)结合工具6/189每两条坐标轴确定平面称为坐标平面：xyOzxyOzxyOzyoz平面xoy平面xoz平面7/189

三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限：

oxyⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦz8/189zxO

y

NM)

,

,

(

z

y

x

P

'

P′

yRz

x9/189空间点有序实数组一一对应10/189例1、建立空间直角坐标系，并作出以下点：11/189二、空间两点间距离公式12/189三、空间曲面及其方程

曲面S与方程F(x,y,z)=0关系：（1）S上任一点坐标都满足方程；（2）S外点坐标都不满足方程.oxyz1、曲面方程概念曲面S:空间满足一定条件动点轨迹.S13/18914/18915/18916/189

利用平面方程研究平面:

设平面普通方程为

（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0平面不过原点，在x轴、y轴、z轴、上截距分别为-D/A、-D/B、-D/C.令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有17/189

上式称为平面截距式方程平面与三坐标轴交点分别为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a、b、c均不为零．

oxyzP(a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c)18/189（2）A≠0，B≠0，C≠0，D=0平面过原点（3）A、B、C中有一个为零A=0，平面方程为By+Cz+D=0平面平行于x轴oxyzoxyz19/189B=0,平面方程为Ax+Cz+D=0平面平行于y轴C=0,平面方程为Ax+By+D=0

平面平行于z轴oxyzoxyz20/189（4）A、B、C中有两个为零A=0，B=0,平面方程为Cz+D=0平面与z轴垂直B=0，C=0,平面方程为Ax+D=0平面与x轴垂直oxyzoxyz21/189A=0，C=0,平面方程为By+D=0平面与y轴垂直(5)z=0，xOy平面；

x=0，yOz平面；

y=0，xOz平面。oxyz22/189z

O

x

y2

zO

x

y

1

z

O

x

y

1

1

A

B

C

263zO

x

y

23/189练习：作出以下平面图形1、2、3、4、5、6、（1）（2）24/189（3）（4）（5）（6）25/189

3、柱面CL要求：掌握母线平行于坐标轴柱面方程26/189M0

M

z

Ox

y

27/189（2）母线平行于坐标轴柱面方程

І、F(x,y)=0

准线C:xOy平面上曲线F(x,y)=0母线与z轴平行；Ⅱ、G(x,z)=0

准线C:xOz平面上曲线G(x,z)=0母线与y轴平行；Ⅲ、H(y,z)=0

准线C:yOz平面上曲线H(y,z)=0母线与x轴平行.28/189x

y

O

zyOx

z

y

Ox

z

29/189比如：抛物柱面

y-x2=0准线C:xOy平面上抛物线

y-x2=0母线平行于z轴圆柱面

x2+z2=1准线C:xOz平面上圆

x2+z2=1母线平行于y轴yoxzoxyz30/1894、旋转曲面

CLLCLC绕旋转一周31/189

(1)设yOz平面上曲线C:F(y,z)=0，绕z轴旋转一周，问曲面方程怎样表示？取C上一个点Ｍ1(0,y1,z1)，那么有F(y1,z1)=0

当C绕轴旋转时，点Ｍ1旋转到点Ｍ(x,y,z)．这时有

z=z1

C：32/189所以,yOz平面上曲线C:F(y,z)=0绕z轴旋转一周而成旋转曲面方程为

同理可得,曲线C:F(y,z)=0绕y

轴旋转所成旋转曲面方程为33/189同学们能够写出另外几个情形：34/189小结：旋转面（坐标面内曲线绕坐标轴旋转而成）方程特点：1、形如

由曲线或绕轴旋转而成2、形如

由曲线或绕轴旋转而成3、形如

由曲线或绕轴旋转而成35/189

zx

y

O36/189练习：1、建立以下曲面方程（1）（2）绕轴：绕轴：绕轴：绕轴：37/189（3）（4）38/1892、以下曲面是否旋转面？若是，怎样产生？试作出其旋转面图形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）39/189参考答案：（2）（3）40/189（5）41/189（6）42/189（7）43/189（8）44/189（9）45/189（10）46/189

四、二次曲面47/189

分析曲面形状方法－－平行截面法：

用坐标面及平行于坐标面平面去截曲面，考查其交线（即截痕）形状，经过截痕形状研究曲面性状.图形特征：

（1）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称；

（2）完全包含在一个以原点为中心长方体

|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c内；

（3）截痕：与三个坐标面交线是椭圆48/189与平面z=z1(|z1|≤c)交线也是椭圆49/189（4）特例a=b时为旋转椭球面由xOz平面上椭圆绕z轴旋转而成.类似地，与平面

交线仍是椭圆．

椭圆截面大小随平面位置改变而改变．50/189

a=b=c时为球心在原点O，半径为a球面.

51/189

２、抛物面

（1）椭圆抛物面

截痕:

考查(p>0,q>0)•与平面z=0相截于原点（椭圆抛物面顶点）；•与平面z=z1（z1>0）截痕是椭圆52/189与坐标面y=0截痕是抛物线与平面y=y1截痕也是抛物线

与平面x=

0及x=x1截痕也是抛线。z

x

y

O

53/189尤其地p=q

时为旋转抛物面(由xOz面上抛物线x2=2pz绕它对称轴z轴旋转而成)•与平面z=z1（z1>0）截痕是圆54/189

３、双曲面

（1）单叶双曲面截痕：与平面z=z1交线是椭圆55/189与平面

交线是双曲线O

y

x

z

56/189

（2）双叶双曲面截痕：xyoz57/189

４、双曲抛物面（马鞍面）

58/189练习作出由以下曲面或平面所围成几何体：1、2、3、4、59/189第二节多元函数基本概念一、多元函数

二、二元函数极限与连续性

主要内容60/189

基本要求

了解平面区域相关概念；了解多元函数概念及二元函数几何表示，掌握二元函数定义域及其几何表示；了解二元函数极限思想；了解二元函数连续性

重点

二元函数概念、定义域，平面区域相关概念61/1891.实例分析

一、多元函数62/189

１．二元函数定义

63/18964/189O

2

2

2

a

y

x

=

+

y

x

a

a

65/189yO

x66/189x

O

1

3

y67/1892.二元函数几何表示

y

x

z

O

X

Y

M

D

P

68/189x

y

z

O

z=1-x-y

69/189z

2

2

y

x

z

+

=

x

y

O

70/189y

x

z

R

R

R

O

71/1891.二元函数极限

二、二元函数极限与连续性72/18973/18974/189第三节偏导数和全微分

一、偏导数

二、高阶偏导数

三、全微分

主要内容75/189

基本要求

了解偏导数概念，掌握偏导数求法；了解高阶偏导数概念并掌握求法；了解多元函数全微分概念，掌握计算方法

重点

多元函数偏导数和全微分运算76/189一、偏导数77/18978/18979/18980/18981/18982/18983/189二、高阶偏导数84/18985/18986/18987/18988/18989/189三、全微分

1、全微分定义90/18991/18992/18993/18994/18995/18996/189第四节多元复合函数求导法则

基本要求

了解多元复合函数概念；掌握求多元复合函数偏导数链导法则，并会求多元复合函数（包含抽象函数）偏导数。

重点

多元复合函数偏导数链导法则97/189z

u

x

y

y

98/18999/189100/189z

u

v

w

x

y

101/189x

y

u

v

w

102/189z

u

x

x

y

103/189《高等数学》104/189z

u

v

x

105/189106/189

基本要求

了解多元隐函数概念；掌握求多元复合函数偏导数运算方法。

重点

多元隐函数偏导数运算107/189108/189109/189110/189111/189112/189思索题：113/189一、多元函数极值

二、二元函数最大值与最小值

三、条件极值

第六节多元函数极值114/189

基本要求

了解多元函极值数概念；掌握二元函数极值求法（限于两个偏导数存在条件下）。

重点

二元函数极值求法；实际问题中多元函数最大值和最小值，条件极值。

掌握多元函数最大值和最小值求法及其实际应用。115/189

一、多元函数极值116/189O

x

y

zx

y

z

1

1

O117/189118/189y

x

z

O

119/189120/189121/189122/189二、二元函数最大值与最小值123/189124/189O

y

x

4

4

4

=

+

y

x

125/189126/189x

y

z

127/189128/189129/189130/189

三、条件极值131/189132/189133/189134/189135/189

第一节二重积分概念与性质

基本要求

了解二重积分概念和几何意义；了解二重积分基本性质。

重点

二重积分概念和几何意义136/189一、二重积分概念137/189xzOyD138/189139/189140/1892．二重积分概念141/189142/1893．二重积分性质143/189144/189第二节二重积分计算一、利用直角坐标计算

二、利用极坐标计算

主要内容

基本要求：

会计算较简单二重积分

重点：

二重积分计算三、二重积分应用举例145/189一、利用直角坐标计算二重积分

y

x

O

x

abD

(a)（ｂ）146/189147/189上式也可简记为148/189

②O

y

x

)

(

2

y

x

x

=

=

x

)

(

1

y

x

c

d

D

149/189化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分下限必须小于上限;

Oy

x

ⅠⅢDⅡ150/189O

y

x

D

1

1

x

151/189O

y

x

D

2

y

x

=

2

+

=

y

x

1

-

2

)

1

,

1

(

-

A

)

2

,

4

(

B

152/189O

yxD

153/189注：此题若选择另一个积分次序较烦琐，读者不妨一试。154/189

注：此题若选择另一个积分次序，会出现“积不出来”积分。155/1891.极坐标系下面积元素二、利用极坐标系计算二重积分

O

x

s

d

q

d

r

r

d

q

d

q

156/189(a)

2.极坐标系下化二重积分为累次积分

(b)

O

x

b

a

)

(

1

q

r

r

=

)

(

2

q

r

r

=

O

x

q

)

(

q

r

r

=

157/189y

x

O

q

D

q

cos

2

R

r

=

R

2

158/189159/1892

y

x

1

O

160/189x

y

O

D

4

z

161/189162/189思索题:163/189三、二重积分应用举例164/1892、求立体体积主要依据：二重积分几何意义，如例8解如图所表示165/1