常微分方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

常微分方程基础知识1/59一、微分方程基本概念第1节微分方程概念与初等积分法2/59热力学基本规律

热量总是从温度高物体向温度底物体传导。在一定温度范围内，一个物体温度改变速度与这个物体温度和其所在介质温度差值成百分比。研究步骤：利用物理知识建立数学模型（微分方程）求解此微分方程用所得结果解释实际问题并做预测3/59b.基本概念常微分方程OrdinaryDifferentialEquation(ODE)偏微分方程PartialDifferentialEquation(PDE)方程阶数（未知函数最高阶导数阶）通解和特解4/59假如一个函数用以代替微分方程中未知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这个函数是微分方程一个解.微分方程解普通表示式称为通解.一个n阶方程通解含有n个任意常数.满足一定详细条件一个确定解称为特解.(常见条件有初始条件)

5/596/59C.一阶常微分方程及其解几何解释线素场-一阶常微分方程积分曲线族-通解积分曲线-特解7/59二、一阶可分离变量微分方程普通处理方法及注意点(通解未必包含了全部解)8/59三、一阶齐次微分方程9/59四、一阶线性微分方程齐次方程解法(分离变量,凑导数)非齐次方程两种解法(常数变易,凑导数)非齐次方程通解结构10/5911/5912/59作业习题3.53(1,3,5,7)4(2,4)5(2,4,6)13/59一些可用变量代换化为已知类型方程14/5915/5916/59五、可降阶高阶方程17/5918/59六、微分方程应用举例19/5920/5921/5922/59作业习题3.56(3,4,7,8)7(2,4,6,10)101123/59第2节二阶线性常微分方程本节讨论以下方程:24/59注:和一阶方程不一样,普通来说,(1)不能用已知初等函数显式表出它解,甚至也不能用积分号来表示它解.为求它解,普通用是无穷级数.本章中,对(1)实际解法讨论,大部分限于系数为常数特殊情形.另外,本章方法都能够推广到高阶线性方程上去.25/59后面讨论中要用存在唯一性定理.26/59这就说明线性方程理论中心问题是求解齐次方程问题.一、齐次线性方程(2)解结构27/59对于(2),恒等于零函数总是它解,我们把这个解称为平凡解,普通没有什么意义.关于(2)解结构,请看下述定理.28/5929/5930/5931/5932/5933/5934/5935/59Question(请考虑以下问题)方程(2)确有两个线性无关解.定理1-4可推广到高阶线性方程.请举例说明两个函数线性无关,它们Wronskian行列式可能是零.36/5937/5938/59利用一个已知解求出别解39/59作业Xt7.42440/59二、二阶常系数线性ode解法

1.齐次方程通解求法

41/5942/5943/59能够将此方法推广到n阶线性

常系数齐次方程44/592.常系数非齐次方程特解求法(1).[待定系数法]f(x)含有特殊形式时,上述方程特解求法.这里特殊形式是指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函数、多项式,或这些函数某种组合.45/5946/5947/5948/5949/5950/59作业

xt7.4

7(1,3,6,7)8(1,3,5)51/59(2)[常数变易法]

方法和一阶方程一样，将齐次方程通解中常数变为函数代入。52/59三、欧拉方程53/5954/59四、一阶常系数线性方程组解法55/5956/59五、振动问题

我们以单摆为例讨论,对于弹簧振动,电磁振荡等