第7讲-微分方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

数学建模与数学试验微分方程1/19微分方程模型建立微分方程模型要对研究对象作详细分析，普通有以下三种方法：一是依据规律建模；二是用微元法建模；三是用模拟近似法建模。一依据规律建模类模型：如后面导弹跟踪问题；依据数学、力学、物理、化学等学科中已经有规律和定律来进行建模；二微元法建模类模型：容器漏水问题（试验P76）此方法也是利用已经有规律和定律来寻求一些微元之间关系式。三模拟近似法建模：社会科学、生物学、医学、经济学等学科，普通都是用此方法2/19微分方程模型如《数模》：传染病模型、经济增加模型、正规战与游击战模型等等。求解方法：欧拉法（即用差商代替导数）、改进欧拉法（即数值积分）、使用泰勒公式法动态连续模型用微分方程模型来建立。下面详细介绍3/19（二）建立数值解法一些路径1、用差商代替导数若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法。4/192、使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进欧拉法。故有公式：5/193、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式精度当一个数值公式截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式精度越高。欧拉法是一阶公式，改进欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返回6/19（三）用Matlab软件求常微分方程数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf为自变量初值和终值函数初值ode23：组合2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：利用组合4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定相对误差和绝对误差.7/191、在解n个未知函数方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中待解方程组应以x分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:8/19导弹追踪问题设位于坐标原点甲舰向位于x轴上点A(1,0)处乙舰发射导弹，导弹头一直对准乙舰.假如乙舰以最大速度v0(是常数)沿平行于y轴直线行驶，导弹速度是5v0，求导弹运行曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一（解析法）9/19由(1),(2)消去t整理得模型:ToMatlab(chase1)轨迹图见程序chase110/19解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m以下：

x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')

结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰ToMatlab(ff6)令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。11/19慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗运动方向一直指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗运动轨迹.1.模型建立设时刻t慢跑者坐标为(X(t)，Y(t))，狗坐标为(x(t)，y(t)).则X=10+20cost,Y=20+15sint,狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗运动轨迹参数方程:12/192.模型求解(1)w=20时,建立m-文件eq3.m以下:functiondy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m以下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq3',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不停修改tf值,分别取tf=5,2.5,3.5,…,至3.15时,狗刚好追上慢跑者.ToMatlab(chase3)13/19建立m-文件eq4.m以下:functiondy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m以下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq4',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不停修改tf值,分别取tf=20,40,80,…,能够看出,狗永远追不上慢跑者.ToMatlab(chase4)(2)w=5时返回14/19地中海鲨鱼问题意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕捉几个鱼类捕捉量百分比资料中，发觉鲨鱼等百分比有显著增加（见下表），而供其捕食食用鱼百分比却显著下降.显然战争使打鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼百分比大幅增加呢？他无法解释这个现象，于是求援于著名意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统数学模型，定量地回答这个问题.15/19

该模型反应了在没有些人工捕捉自然环境中食饵与捕食者之间制约关系，没有考虑食饵和捕食者本身阻滞作用，是Volterra提出最简单模型.16/19首先，建立m-文件shier.m以下：functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));其次，建立主程序shark.m以下：[t,x]=ode45('shier',[015],[252]);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')plot(x(:,1),x(:,2))ToMatlab(shark)17/19求解结果：