复变函数与积分变化11-复数省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

1/21xiesongfa@126.com与积分变换复变函数谢松法华中科技大学数学与统计学院/ec3.0/C35/index.asp2/21一、教学及考评方式主要参考书（略）考试方式：闭卷考试成绩：作业占20%，考试占80%作业：每七天交作业一次答疑：每七天一次课堂教学：

40课时(练习册)(科技楼南楼813室)3/21二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修主要基础理论课，是工程数学主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛应用。复变函数内容包含：复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、解析函数级数表示、留数及其应用、共形映射以及解析函数在平面场应用。其中，带“*”号内容本课堂不需要掌握。积分变换内容包含：傅里叶变换和拉普拉斯变换。4/21第一章复数与复变函数复数领域推广和发展。复变函数理论中许多概念、理论和方法是实变函数在复数产生最早能够追溯到十六世纪中期。但直到十八世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人长久努力，复数地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全方面为这门学科发展作了大量奠基工作发展。为复变函数理论创建做了早期工作是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。(虚数史话)5/21第一章复数与复变函数§1.2复数几个表示§1.1复数§1.3平面点集普通概念§1.5复变函数§1.4无穷大与复球面6/21§1.1复数一、复数及其运算二、共轭复数7/21一、复数及其运算1.复数基本概念定义(1)设

x

和

y

是任意两个实数，(或者

)数称为复数。(2)x

和

y

分别称为复数

z

实部与虚部，并分别表示为：当y=0时，所以，实数能够看作是复数特殊情形。(3)当x=0时，称为纯虚数；就是实数。将形如其中

i

称为虚数单位，即P1

8/21设与是两个复数，假如则称与相等。它们之间只有相等与不相等关系。一、复数及其运算1.复数基本概念相等当且仅当尤其地，复数与实数不一样，两个复数(虚部不为零)不能比较大小，注9/21一、复数及其运算2.复数四则运算设与是两个复数，(1)复数加减法加法减法(2)复数乘除法乘法假如存在复数z，使得则除法P2

10/21一、复数及其运算2.复数四则运算(3)运算法则交换律结合律分配律11/21二、共轭复数1.共轭复数定义设是一个复数，定义称为

z

共轭复数，记作。共轭复数有许多用途。注比如P2

12/21二、共轭复数2.共轭复数性质其中，“”能够是(2)(3)(1)性质P3

13/21解(1)(2)14/21证实P4例1.1

15/21卡尔丹称它们为“虚构量”或“诡辩量”。他还把它们与负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。附：历史知识——虚数史话两数和是

10

,积是

40

,求这两数．卡尔丹发觉只要把

10

分成和即可。

1545

年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》中求解这么问题：卡尔丹这种处理，遭到了当初代数学权威韦达和他学生哈里奥特责难。16/21附：历史知识——虚数史话整个十七世纪，极少有些人理会这种“虚构量”。仅有极少数数学家对其存在性问题争论不休。意义下“复数”名称。1632

年，笛卡尔在《几何学》中首先把这种“虚构量”改称为“虚数”，与“实数”相对应。同时，还给出了如今17/21附：历史知识——虚数史话到了十八世纪，虚数才开始被关注起来。1722

年，法国数学家德摩佛给出德摩佛定理：

其中

n

是大于零整数。1748

年，欧拉给出了著名公式：并证实了德摩佛定理对

n

是实数时也成立。1777

年，欧拉在递交给彼德堡科学院论文《微分公式》中首次使用

i

来表示18/21附：历史知识——虚数史话十八世纪末，高斯出现使得复数地位被确立下来。1797

年，当初年仅20岁高斯在他博士论文中证实了代数基本定理。高斯在证实中巧妙地给出了复数几何表示，使得人们直观地了解了复数真实意义。十九世纪中叶以后，复变函数论开始形成，并逐步发展成为一个庞大数学分支。而且

n次多项式恰好有

n个根。任何多项式在复数域里必有根，即19/21附：人物介绍——高斯许多数学学科开创者和奠基人。几乎对数学全部领域都做出了重大贡献。享受数学王子美誉。德国数学家、

(1777～1855)高斯JohannCarlFriedrichGauss物理学家、天文学家20/21高斯逝世后，哥廷根大