7、三角形的中位线 - 答案

三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边上的中点，菱形的周长为36，则长等于（

）

A．4.5 B．5 C．6 D．9【答案】A【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为36，∴，又∵O为中点，H为的中点，∴为的中位线，∴，故选：A．2．如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为(

)

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：是的中位线，，，，，，平分，，，，，，，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：，，，，，是的中位线，，，，故答案为：7．4．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，∴，，∴，∵，，∴是直角三角形，∴，∴，故C正确．故选：C．5．如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为．【答案】【详解】解：∵、分别是、的中点，∴，，∴，∵、分别是、的中点，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为．【答案】【详解】解：如图，连接，E，F分别是，的中点，，，，F是的中点，，G是的中点，，，F是的中点，，，，，E，F分别是，的中点，，故答案为：．2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18cm，则△DEF的面积是cm【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18cm，∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm），∵点D是AB的中点，∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm），∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DEBC，∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm），故答案为：4.5．3．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，∵、分别是的、边的中点，∴，DF∥BC，∵D、G为AB、BH中点，∴DG∥AH，且DG=，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=∵S△ABC=∴．故选择B．4．如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线交于点E，作的垂线交于点F，若，且的面积为2，则的长为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【详解】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵，∴AE=CE，DE=BC，∵DF⊥BC，∴，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=AH，∵△DFE的面积为2cm2，∴DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=AC，∴AB•2AB=16，∴AB=2（负值舍去），∴AC=4，∴BC=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（）A．2 B． C．5 D．9【答案】D【详解】如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点，∵E、F分别是AD、CD的中点∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∴由勾股定理可得：AC＝∵△ABC为等腰三角形∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四边形ABCD的面积为20∴S△ACD＝20－16＝4，∴，∴=，∴BH＝BG+GH＝，又∵，∴S△BEF＝．故选：D．6．如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为．【答案】4【详解】解：取的中点H，连接，∵点H是的中点，是的中位线，∴，，∴，∵F是的中点，，在和中，∵∴，∴，，∵，∴，∵的面积为，∴，∴，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则四边形必定是（

）A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形C．正方形 D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接、交于点，四边形是菱形，，点、分别是、的中点，是三角形的中位线，，，同理，，，，四边形必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形为菱形，点E、F、G、H分别、、、边的中点，依次连接E、F、G、H得到四边形，则四边形为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【详解】连接交于，

∵点E、F、G、H分别、、、边的中点，∴，，，∴四边形为平行四边形，∵四边形为菱形，∴，∴，∴四边形为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【详解】解：顺次连接菱形各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：且，且，，∴，，∴四边形是平行四边形．又∵四边形是菱形，∴，则，∴四边形是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（

）．A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【详解】解：如图所示，是等腰梯形，E，F，G，H是四边形四边的中点，连接，，∵E，F，G，H是四边形四边的中点，∴，，，，同理：，∴且，∴四边形是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即，∴，∴四边形是菱形．故选：C．5．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是矩形，则原四边形必须满足条件（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，∵E，F，G，H分别是的中点，∴，，∴四边形为平行四边形，∴当有一个角为直角时，即证明四边形是矩形．∵当时，，∴当时，四边形是矩形．故选D．6．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件．【答案】（答案不唯一）【详解】解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，∴，∵四边相等的四边形是菱形，∴当时，，此时四边形是菱形；∴可添加的条件为：；故答案为：（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在中，，D、E、F分别是、、边上的中点．求证：四边形是菱形．

【答案】见解析【详解】证明：D、E、F分别是、、边上的中点且得到，是的中位线，，且四边形是平行四边形四边形是菱形．2．已知：如图，在四边形中，，点M，N，P，Q分别是的中点．求证：四边形是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设与交于点O，与交于点F，与交于点E，∵，，∴点A与点C都在的垂直平分线上，∴是的垂直平分线，即，∴，∵点M，N，N，P，Q分别是，，，的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，同理：，∴四边形是矩形．3．已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连接．求证：．【答案】∵在中，中线，交于点O，∴E、F分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵G，H分别是，的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形的四边中点依次连接起来，得到的四边形是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接．∵E，F分别是，的中点，∴，．∵G，H分别是，的中点，∴，．∴，．∴四边形是平行四边形．

(1)若只改变图①中四边形的形状（如图②），连接，，则四边形还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出结论并证明．②当与满足什么条件时，四边形是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①，见解析；②【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下：∵，分别是，的中点，∴，，同理，，，∴，，∴四边形是平行四边形；（2）①当时，四边形是菱形，由（1）知四边形是平行四边形，∵，分别是，的中点，∴，∵，分别是，的中点，∴，∴当时，，∴平行四边形是菱形；②当时，四边形是矩形，由（1）知四边形是平行四边形，∵，分别是，的中点，∴，∵，分别是，的中点，∴，∴当时，，∴平行四边形是矩形；5．如图所示，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：．

【答案】如图所示，取的中点，连接，，

、分别为、的中点，是的中位线，，同理可得，，，．，又，，，．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在中，点分别是的中点．求证：________________．证明：过点作，与的延长线交于点．（3）实践应用如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．

【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：，．证明：∵点分别是的中点，∴，，过点作，与的延长线交于点．∴，在和中，．，．，．四边形是平行四边形，，，又，，．故答案为：，；（3）∵点分别是的中点，米，∴，即：米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点F，若，，则的长为．

【答案】【详解】解：如图，延长，交于点G，

∵是的角平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴为的中位线，∴，故答案为：．2．如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【详解】解：取的中点H，连接，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B．3．如图，在中，，M、N分别是的中点，延长至点D，使．连接．若，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：如图：连接∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，M是的中点，∴，∴．故选：C．4．如图，为中的外角平分线，于，为中点，，，则长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：延长，交于点F，，∵为中的外角平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，又为中点，，∴，又，∴．故选：D．5．如图，在中，平分，于点，点是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）证明：如图1中，平分，于点，∴，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，，，．（2）解：结论：，理由：如图2中，延长交的延长线于．，，，，，，，，为的中点，，点为的中点，，；故答案为．6．已知：如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=（AB+BC+AC）．（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）图②结论为：证明：分别延长、交于、，在和中，，，，同理可证，，又∵，BH=BC-CH=BC-AC，（2）图3的结论为．证明：分别延长、交或延长线于、,在和中，，，，同理可证，，，又．．题型六：最值问题1．在矩形中，，，分别在、上取点P、Q（端点除外），连接，E、F分别为、的中点，连接EF，在P、Q的运动过程中，线段的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】A【详解】解：连接，∵E、F分别为、的中点，∴，根据点到直线的距离可得当时，最小，也最小，∵矩形中，，，∴，∵，∴，∴，∴，故选A．2．如图，在中，，，，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【详解】解：连接，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴，∴当时，最小，即最小，在中，，，，∴，∴的最小值为，∴的最小值为，故选：B．3．如图，在菱形中，，，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】连接，如图所示：∵四边形是菱形，∴，∵G，H分别为，的中点，∴是的中位线，∴，当时，最小，得到最小值，则，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为．故选：B．4．如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，M、N分别是的中点，则的最小值是．【答案】【详解】解：，，，，，延长到，使，连接，则，，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．在中，，即最小为5，、分别是、的中点，，，的最小值为．故答案为：.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则，、E、F分别为、、的中点，、、分别为的中位线，，，，，，，，同理：第三个三角形的面积=，第四个三角形的面积第三个三角形面积，……，∴第2013个三角形的面积为，故选：D．2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为．【答案】【详解】∵E是BC中点，，，∴ED、EF是△ABC的中位线，∴ED=EF=AD=AF==，∴四边形EDAF是菱形，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的高=，∴菱形EDAF的高为，∴S1===，同理，四边形也是菱形，FF1==，菱形的高为=，∴S2===，S3===……Sn=，∴=故答案为：

3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB和OC为邻边作第一个平行四边形，对角线BC与相交于点；再以和为邻边作第二个平行四边形，对角线与相交于点；再以和为邻边作第三个平行四边形…依此类推．记第一个平行四边形的面积为，第二个平行四边形的面积为，第三个平行四边形的面积为…则是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，∴BC＝＝16，∴矩形ABCD的面积＝12×16＝192；∵四边形是平行四边形，OB＝OC，∴四边形是菱形，∴，∴是△ABC的中位线，∴＝AB＝6，∴，∴平行四边形四边形的面积＝×12×16＝192；根据题意得：四边形是矩形，∴第2个平行四边形的面积＝8×6＝48＝×192；同理：第3个平行四边形的面积＝×8×6＝24＝×192；．．．，∴第n个平行四边形的面积是×192，则是×192＝，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形，R，P分别是上点，E，F分别是的中点，当点P在上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（

）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少C．线段的长不变 D．线段的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接，

分别是的中点，为的中位线，，为定值，线段的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则．【答案】【详解】解：∵，E，F，G分别是的中点，∴是的中位线，是的中位线，,,又,,,,.故答案为：．3．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是．

【答案】且【详解】应满足的条件是：且，理由：、、、分别是、、、的中点，在中，是的中位线，，，同理，，同理，，则且，四边形为平行四边形，又，，四边形为菱形，，，，，，，菱形为正方形，故答案为：且．4．如图，在中，，，，分别是，，，四条边的中点，连接，，，，若的面积为，则和的面积之和为．【答案】6【详解】解：点是的中点，的面积为，，点是的中点，，点是的中点，，点是的中点，，和的面积之和为，故答案为：．4．如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则．

【答案】【详解】解：取中点，则是中位线，∴，，∴，∴设，则，，∴，故答案为．

5．如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为．【答案】【详解】解：连接，∵，分别为，的中点，∴，且，要使最小，只要最小，当时，最小，∵的最小值为3，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴．故答案为：．6．如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】延长交的延长线于点，如图，，，平分，，，是等腰三角形，，点E是的中点，，是的中位线，．故选：A．7．如图，中，，点E是的中点，若平分，求线段的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长交于，由题意知，，，在和中，∵，∴，∴，，∴是的中点，，又∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴的长为2cm．8．如图，的周长为64，．．分别为．．的中点，．．分别为．