5、菱形的判定和性质 - 答案

菱形的判定和性质情景导入1.（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2.（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形（2）一组邻边相等请同学们列举一些日常生活中所见到过的菱形的例子折纸探究把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心边：菱形的对边平行且相等角：菱形的对角相等对角线：菱形的对角线互相平分那么菱形作为作为特殊的平行四边形具有哪些特殊的性质呢？（1）菱形的都相等（2）菱形的对角线.例1.如图，菱形ABCD中，AE和AF分别是BC和DC边上的高，请问AE与AF有什么样的关系？为什么？例2.在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O.（1）用含、的代数式表示菱形ABCD的面积S；（2）若=3cm，=4cm，求菱形ABCD的面积和周长.知识点：菱形的面积==.菱形的判定提出问题1.根据菱形的定义，需要具备什么条件可以判定一个四边形是菱形？2.还可以用什么方法判定一个四边形是菱形？成果展示1.问题1：拿出十根小木条（其中只有四根一样长），让学生从中选取四根，能否搭成一个菱形？为什么？2.问题2：拿出事先准备好的平行四边形（对角线是木条，四边是橡皮筋），转动木条成直角，观察得到的四边形的形状是菱形吗？为什么？3.问题3：你认为，的四边形是菱形的平行四边形是菱形（注意：一个的基础条件是四边形，一个的基础条件是平行四边形）归纳：四边形、平行四边形、菱形之间的关系：证明：四条边都相等的四边形是菱形证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形题型一：菱形的性质-求角度1．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．2．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为度．【答案】62【详解】解：∵四边形为菱形，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：62．3．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108° B．72° C．90° D．100°【答案】B【详解】解：连接PA，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；故选：B．4．如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，则．

【答案】【详解】解：∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵四边形是菱形，∴，点O为的中点，∴，∴，∵，点O为的中点，∴，∴，故答案为：．5．如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则．【答案】【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．题型二：菱形的性质-求长度1．菱形相邻两角的比为，那么菱形的对角线长与边长的比为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为菱形相邻的两角互补，所以得到较小的角的度数是，较大的角是．设菱形的边长为1，则角所对的对角线长为1，角所对的对角线长是，所以它们所对的对角线长与边长的比为．故选：D．2．如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则．【答案】3【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案为：3．3．菱形ABCD的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（）A．8 B．8 C．4 D．4【答案】A【详解】根据题意作如图所示：在菱形ABCD中，，又在△ABC中，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=60°，∴∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，∴三角形ABC为等边三角形，∴AC=AB=8，∴AO=4，，，故选：A．4．如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝AD，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD•AD＝AD2＝4，∴AD＝（负值舍去），即菱形的边长为，故选：A．5．如图，在矩形中，，，分别平分，，交，于点，．要使四边形为菱形，则的长为．【答案】【详解】解：∵在矩形中，平分，，，，．又，．要使四边形为菱形，则，，故答案为：．题型三：菱形的性质-求周长和面积1．如图，在菱形中，、交于点O，若，，则的周长为（

）

A．16 B．18 C．20 D．26【答案】A【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，，∴，∴的周长，故选：A．2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：四边形是菱形，，，E为的中点且，，菱形的周长，故选：B．3．如图，菱形ABCD中，若，，则菱形ABCD的面积为．【答案】120【详解】解：如图，连接，交于点，四边形是菱形，，，，，，则菱形的面积为，故答案为：120．4．如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形则．，，菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，即，∴，故选：A．5．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为．【答案】24【详解】解：菱形中，，∵，∴四边形是矩形∴中，∴∴菱形的面积为故答案为：24．题型四：菱形的性质运用1．菱形具有而矩形不一定有的性质是（

）A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．四条边都相等【答案】D【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角相等，所以本选项不符合题意；B、因为矩形和菱形都是平行四边形，邻角互补，所以本选项不符合题意；C、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线互相平分，所以本选项不符合题意；D、因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不相等，所以本选项符合题意．故选：D．2．如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且，连接，求证：．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴．3．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．(1)求证：；(2)求证：．【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，∴，，在和中，，∴；（2）证明∶∵，∴，∵四边形为菱形，∴AB∥CD，∴，∴．4．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边相等），∠B=∠D（菱形的对角相等），∵AE⊥BC

AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定义），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；（2）解：设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x−2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x−2（全等三角形的对应边相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x−2)2=x2，解得x=5，∴菱形的边长是5．题型五：菱形的判定判断下列命题是否正确，并说明理由（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（3）邻角相等的四边形是菱形（4）有一组邻边相等的四边形是菱形（5）两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形是菱形（6）对角线互相垂直的四边形是菱形（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形（8）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形【答案】✔✔✖✖✔✖✔✔2.下列说法正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．不能确定【答案】C4.下列说法不正确的是（）A．对角线相互垂直的四边形是菱形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】A5.下列条件中不能用来判定四边形是菱形的是（）A．AB=CD，AB=AD，BC=CDB．∠A=∠C，∠B=∠D，AC⊥BDC．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDD．OA=OB=OC=OD（O是对角线交点）【答案】D6．如图，在矩形中．点E，F，G，H分别是四条边的中点．求证：四边形是菱形．

【答案】连接，

∵点E，F，G，H分别是四条边的中点，∴，∵矩形，∴，∴，∴平行四边形为菱形．7．如图，在四边形中，，，O是四边形内一点，且．求证：

(1)；(2)四边形是菱形．【答案】（1）∵，∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上，∴，∵，∴，（2）证明：如图，连接，

∵，，，∴，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是菱形.8．如图，△ABC中，AB=AC，AD是的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF是菱形．【答案】∵AB=AC，AD是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE是平行四边形；∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE是平行四边形，∴四边形BFCE是菱形．9．如图，在中，，平分交于点，于点，交于点，过点作交于，连接．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并证明；(3)若，求线段的长度．【答案】(1)见解析(2)菱形，理由见解析(3)（1）证明：平分，，，，，又，，；（2）解：四边形是菱形，理由如下：，，由（1）知，，，又，，，由（1）知，，又，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（3）解：中，，，由（2）知，，，四边形是菱形，，，，设，则，在中，，即，解得：，，，，．课后练习1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．【答案】60°【详解】解：连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠BAD=×80°=40°，AC垂直平分BD，AB//CD，∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=40°，∴∠CDF=100°-40°=60°，故答案为：60°．2．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝．【答案】20°【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20°．3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则．【答案】65°【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°-130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．故答案为：65°．4．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（）A．15° B．30° C．40° D．50°【答案】B【详解】如图，连接，∵四边形是菱形，∴，，在和中，∵，∴∴∵垂直平分，，∴∵，∴．故选：B．5．菱形的周长是24，两邻角比为1∶2，较长的对角线长为．【答案】【详解】解：如图，菱形的周长是24，菱形的边长，菱形的两邻角之比为，较小的内角，是等边三角形，，在菱形中，，，，，在中，，较长的对角线．故答案为：．6．如图，在菱形中，对角线，分别为和，于点，则．【答案】【详解】解：如图，设与的交点为，∵四边形是菱形，，，，，，，，故答案为：．7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为．【答案】48【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面积，故答案为：48．8．如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（）A．4 B．3 C． D．【答案】D【详解】解：如图，设与的交点为O，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，故选：D．9．如图，在菱形中，，M、N分别是边的中点，于点P．则的度数为（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】A如图所示，延长交的延长线于点G，∵四边形是菱形，∴，∴，，∵，即，∴，∵M、N分别是边的中点，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴N为中点．∴，∴，∴，即，故选A．10．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数．【答案】【详解】连接，∵四边形是菱形，∴为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∵，且，∴11．如图，中，对角线、交于点，在上截取．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求证：平分．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，；∴四边形是矩形；（2）证明：∵四边形是矩形，，∴四边形是正方形，∴，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴平分．12．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AE