4、矩形的判定和性质 - 答案

矩形的判定和性质【问题导学】操作：已知Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线。请大家以点O为对称中心，作出此图关于点O的中心对称图形。（点B的对称点为D）思考、交流：所得四边形ABCD是不是平行四边形？你能说明理由吗？一、矩形性质探究：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（矩形通常也叫长方形）1.矩形与平行四边形比较：相同点：不同点：2.你能用以前学过的知识证明矩形的对角线相等吗？3.小结：矩形的特殊性质（1）.（2）.4.矩形和平行四边形性质比较。相同点：（1）边：不同的：（1）角：.（2）角：（2）对角线：.（3）对角线：.（4）对称性：（3）对称性：.二、矩形判定探究⑴有三个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？⑵如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，四边形ABCD是矩形吗？DDCBAO矩形的判定定理总结：1、__________________________________________________2、__________________________________________________3、__________________________________________________题型一：矩形的性质-边角1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD答案：D2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对边相互平行B.对角线相等C.对角线相互平分D.对角相等答案：B3、在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等B．四个角相等C．是轴对称图形D．对角线互相垂直答案：D4、如图,在矩形ABCD中,AD=12,AB=7,DF平分ADC,AFEF,（1）求证：AF=EF；(2)求EF长;答案:（1）全等（2）题型二：矩形的性质-对角线1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长为______答案：32、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为______答案：60°3、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则BD的长为________．答案：64、如图,矩形ABCD的对角线交于O点,若OA=1,BC=,那么BDC的大小为______.答案：120°5、如图，在矩形ABCD中，连接AC，BD，延长BC至点E，使BC＝CE，连接DE.求证：DE＝AC.答案：矩形对角线相等+线段的垂直平分线6、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为________．答案：7、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则．答案：如图，连接，交于点，四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．题型三：矩形的性质-周长和面积问题1、在矩形ABCD中,对角线交于O点，AB=6,BC=8,那么△AOB的面积为_______;周长为________.答案：48，28一个矩形周长是16cm,对角线长是7cm,那么它的面积为______.答案：3、如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（

）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4答案：作于M，于N，

∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴和的面积比等于．故选：A．4、如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点c落在AB边上的点F处，若AD＝8，且△AFD的面积为60．求：(1)边AB的长；(2)△DEC的面积．答案：（1）17（2）5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△C1DE（2）求图中阴影部分的面积.答案：（1）略（2）题型四：矩形的判定定理1、下列说法中，正确的是 ( )A．有1个角是直角的四边形是矩形 B．2条对角线相等的四边形是矩形．C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有3个角是直角的四边形是矩形答案：D2、下列关于矩形的说法中正确的是 ( )A.对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分答案：D3、如图工人师傅砌门时要想检验门框ABCD是否符合设计要（即门框是否为矩形，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可判断了．(1)当AC （填“等”或“不等BD时，门符合要求；(2)这种做法的根据是 ．答案：（1）等于（2）对角线相等的平行四边形为矩形4、如图，在△ABC为BCABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE为矩形．答案：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．答案：在中，，，，是外角的平分线，，，又，，，四边形为矩形．6、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．答案：∵△ABD和△BCD是全等的两个正三角形．∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，∴，又∵N是AD的中点，∴ND=AD，同理：BN=BC，∴ND=BM，∴四边形BMDN是平行四边形．根据三线合一可知NB⊥AD，∠DNB=90°，∴四边形BMDN是矩形．7、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形.答案：四边形EFGH是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四边形EFGH是矩形．8、已知：四边形是平行四边形，以对角线为斜边作，连接，，．求证：四边形是矩形．答案：连接，交于，连接．四边形是平行四边形，，．，，．四边形是矩形．题型五：最值问题1．如图，在矩形中，，，点，为对角线上的两点，且满足，连接，，则的最小值为

A． B． C． D．答案：如图，连接，．

四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，在中，的最小值为，故选：C．2．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（

）

A． B． C． D．答案：如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．

设中边上的高是．，，，，动点在与平行且与的距离是2的直线上，在中，，，，即的最小值为．故选：D．3．如图，在中，，点P是边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作边的垂线，垂足分别为M、N，则的最小值是．

答案：如下图，连接，

在中，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小，即的值最小，，最小值是，故答案为：课后练习：1．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则．答案：∵，，∴垂直平分，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，故答案为：．2．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为．答案：作于，交于N．如图：则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，∴，，，，，，∵，∴∴，∴图中阴影部分的面积．故答案为：12．3．如图，已知点是矩形的对称中心，分别是边上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是．答案：在矩形中，，∴，在与中，，∴，，∴，故答案为：．4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，求的度数．答案：四边形是矩形，，，，∵，，，四边形是矩形，，，，，，，∴的度数为45°5．如图，在矩形中，，点P为边上任意一点，过点P作，垂足分别为E、F，则．

答案∵矩形中，，∴，∴，，

连接，根据矩形的性质，得，解得，故答案为：．6．如图，将一张矩形纸片沿着折叠后，点恰好与边上的点重合，已知，，则的长度为cm．

答案：∵由翻折而成，∴，∴，，，设，则，在中由勾股定理得：，即，∴，∴，在中由勾股定理可得：，即，∴，∴，即，故答案为：．7．如图所示，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使点D落在点，则重叠部分的面积是．

答案：∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠的性质可知，∴，∴，设，则，∴在中，由勾股定理可得，解得：，即，∴；故答案为：10．8．如图，中，，，，点为边上任一点，过分别作于，于，则线段的最小值是．

答案:连接，

，，，∴由勾股定理得：，，，，四边形是矩形，，即表示与边上任意一点的距离，根据垂线段最短，过作，当最短，根据三角形面积公式得：，，故答案为：．9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（

）A． B． C． D．答案：四边形是矩形，∴，，，，，，，平分，，，，是等边三角形，，，∵，．故选C．10．如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形；答案：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，又∵，，∴，∴四边形是矩形11．如图，在中，对角线、相交于点O，E是外一点，且，求证：是矩形．答案：连接，∵O是、的中点，∴，，在中，∵O为中点，∴，在中，∵O为中点，∴，∴，又∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝1．(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)求平行四边形ABCD的面积．答案:（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，又∵△AOB是等边三角形，∴AO＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2AB＝2，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴BC＝＝＝，矩形ABCD的面积＝AB·BC＝．13．如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求的长．答案:（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∵．∴，即，∴，，∴四边形是平行四边形．∵，∴，∴是矩形．（2）∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，．∴的面积，即，解得：，∵四边形是矩形，∴．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°(1)求