ChapSec数值积分与数值微分n省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

杨东武ydw_1978@126.com机电工程学院第1页上节课内容回顾1.

什么是三次样条插值？惯用边界条件类型有哪些？3.已知下面数据表对应函数形式近似为：f(x)=ax+bx3，请经过最小二乘拟合确定函数f(x).153352210100-11-1f(x)x2.请给出矛盾方程组法方程：第2页主要内容数值积分意义插值积分公式结构插值积分公式精度龙贝格积分公式第3页主要内容数值积分意义插值积分公式结构插值积分公式精度龙贝格积分公式第4页在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞有解析表示式；☞f(x)原函数F(x)为初等函数．为何要数值积分？F(x)有解析表示式第5页问题f(x)没有解析表示式，只有数表形式

e.g.

x12345f(x)44.5688.5f(x)有表示式，但原函数不是初等函数e.g.，它们原函数都不是初等函数。第6页求定积分就得经过近似计算－数值积分求得积分近似值。基本思想:是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。可采取数据插值方法取得f(x)近似函数第7页各插值点函数值（常量）由插值节点决定，与f(x)无关,记为Ak插值求积公式，Ak为求积系数(可事先求出)数值积分就是将定积分计算简化为计算被积函数在各节点处函数值线性组合。求积系数确实定以及求积公式误差分析成为数值积分研究主要内容。第8页用过点A(a,f(a))和B(b,f(b))线段近似代替曲线y=f(x),x

[a,b].1.梯形公式:

f(x)abf(a)f(b)两节点插值（一次插值）设x1为a和b中间点，用过点A(a,f(a))，C(x1,f(x1))和B(b,f(b))抛物线近似代替曲线y=f(x),x

[a,b].2.辛甫生公式:

注：Simpson公式又叫抛物线公式。三节点插值（抛物线插值、二次插值）第9页（五节点插值）将[a,b]分成四份，xk=a+(b-a)k/4(k=0,1,2,3,4)，类似于前面推导过程，能够得到3.柯特斯公式:

Cotes公式通常求积区间[a,b]上已知节点个数都>4，而高次插值公式精度不见得就好，类似于分段低次插值概念，我们通常使用复化求积公式第10页1.复化梯形公式h称为步长复化梯形公式，有时也简称为梯形公式特点：全部内部节点函数值2倍加首末节点函数值和，乘以步长除以2。第11页2.复化辛甫生公式复化辛甫生公式3.复化柯特斯公式复化柯特斯公式第12页主要内容数值积分意义插值积分公式结构插值积分公式精度龙贝格积分公式第13页问题：当区间[a,b]为8个等分子区间时，我们该怎样选取求积公式？哪一个求积公式精度更高呢？结果会一样吗？8个子区间分别应用梯形公式组成复化梯形求积公式4个子区间分别应用辛甫生公式组成复化辛甫生求积公式2个子区间分别应用柯特斯公式组成复化柯特斯求积公式第14页例5.1：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502结论：相同节点个数时，辛甫生求积公式精度更高第15页插值积分公式截断误差分析插值积分公式截断误差复化辛甫生公式复化柯特斯公式复化梯形公式似乎没有可比性怎么办？哪个公式精度更高呢？第16页代数精度概念定义5.1:若某个求积公式对f(x)=xk(k=0,1,…,m)

准确成立，但对f(x)=xm+1不准确成立，则称此求积公式代数精度为m。代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：

如梯形公式：

代数精度=1。第17页轻易验证:梯形公式1次精度辛甫生公式3次精度柯特斯公式5次精度第18页主要内容数值积分意义插值积分公式结构插值积分公式精度龙贝格积分公式第19页实际问题：1、对于f(x)在区间[a,b]上定积分计算，怎样知道该划分出多少个子区间才能得到准确解惯用做法：判断|T2N-TN|是否足够小，即第20页实际问题：2、假如已经计算出划分为n个子区间时积分值TN，而且发觉该计算结果不够准确，在计算TN+1时，是否能利用上一次计算结果TN以防止重复计算（降低计算工作量）呢？需要寻求T2N与TN之间递推关系第21页梯形公式递推关系全区间二等份四等份2k等份只计算新增节点给出赔偿量前面不是说梯形公式精度不够高吗？那岂不是要多计算好多节点函数值吗？第22页龙贝格求积公式突出贡献：给出了由低精度求积公式到高精度求积公式转换时组合系数。梯形公式到辛甫生公式（m=1）T1为[a,b]上直接求积结果T2为[a,b]二等份后求积结果T4为[a,b]四等份后求积结果…………………T2k为[a,b]2k等份后求积结果梯形公式递推关系已知，于是递推同时又能提升积分精度第23页龙贝格求积公式突出贡献：给出了由低精度求积公式到高精度求积公式转换时组合系数。辛甫生公式到柯特斯公式（m=2）第24页龙贝格求积公式突出贡献：给出了由低精度求积公式到高精度求积公式转换时组合系数。柯特斯公式到龙贝格公式（m=3）第25页龙贝格求积计算过程k区间等份数N=2k梯形公式T2k辛甫生公式S2k柯特斯公式C2k龙贝格公式R2k01T112T2S124T4S2C138T8S4C2R1416T16S8C4R2532T32S16