大学普通物理学经典-刚体的转动省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第五章刚体转动1/64教学基本要求

一

了解描写刚体定轴转动物理量，并掌握角量与线量关系.

二

了解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动转动定理.

三

了解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下角动量守恒问题.

能利用以上规律分析和处理包含质点和刚体简单系统力学问题.

四了解刚体定轴转动转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动问题中正确地应用机械能守恒定律2/64一刚体§5.1刚体转动描述1定义：在外力作用下，形状和大小都不发生改变物体.note：1）理想化模型。2）刚体运动时，各质点之间相对距离不发生改变。3）视为内力无穷大特殊质点系。3/642刚体运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动1）平动：若刚体中全部点运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间连线总是平行于它们初始位置间连线.4/642）转动：刚体中全部点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体平面运动.5/643)刚体普通运动质心平动绕质心转动+6/64二刚体转动角速度和角加速度参考平面角位移角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴7/64角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不一样；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动特点

刚体定轴转动（一维转动）转动方向能够用角速度正负来表示.8/64三匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当刚体绕定轴转动角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比9/64四角量与线量关系10/64飞轮30s内转过角度例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停顿转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

11/64（2）时，飞轮角速度（3）时，飞轮边缘上一点线速度大小该点切向加速度和法向加速度转过圈数12/64刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力作用点P径矢.一力矩P*O2转动定律力臂：从O点到作用线垂直距离d叫力臂。力矩为：力大小和力臂乘积，叫做力对转轴Z力矩。13/64是一矢量。大小：方向：右手螺旋。思索：与Z轴平行力在Z轴上力矩等于多少？作用线过Z轴力在Z轴上力矩等于多少？判断：平行于Z轴力对Z轴力矩一定是0，垂直于Z轴力对Z轴力矩一定不为0.14/64O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向两个分量

2）合力矩等于各分力矩矢量和其中对转轴力矩为零，故对转轴力矩15/64结论：刚体所受协力为0是，刚体协力矩能够为0，也能够不为0.当协力矩为0时，协力不一定为0.T1T116/643）刚体内作用力和反作用力力矩相互抵消O17/64O二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩O18/64刚体所受对于某一固定轴协力矩等于刚体对此转轴转动惯量与刚体在此协力矩作用下所取得角加速度乘积。转动定律定义转动惯量O19/64Note：1）转动定律中各量均对同一转轴。2）此方程式类似于。说明力矩是使刚体状态发生改变而产生角加速度原因。20/64三转动惯量物理意义：转动惯性量度.质量离散分布刚体转动惯量转动惯性计算方法质量连续分布刚体转动惯量：质量元21/64

对质量线分布刚体：：质量线密度

对质量面分布刚体：：质量面密度

对质量体分布刚体：：质量体密度：质量元质量连续分布刚体转动惯量22/64O´O

解设棒线密度为，取一距离转轴OO´为处质量元例1一质量为、长为均匀细长棒，求经过棒中心并与棒垂直轴转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒23/64ORO

例2一质量为、半径为均匀圆盘，求经过盘中心O

并与盘面垂直轴转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为圆环而圆环质量所以圆环对轴转动惯量24/64四

平行轴定理P转动惯量大小取决于刚体质量、形状及转轴位置.质量为

刚体，假如对其质心轴转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

转轴转动惯量CO注意圆盘对P轴转动惯量O25/64例4二分之一径为R，质量密度为薄圆盘，有两个半径均为圆孔，两圆孔中心距离圆盘中心距离均为，如图所表示。求此薄圆盘对于经过圆盘中心而与盘面垂直轴转动惯量。O26/64解：赔偿法构想在带孔圆盘每个小孔处填充质量为+m′和-m′且相等小圆盘，这么并不会改变原来质量分布，但形成了正质量大圆盘和负质量小圆盘组合体，它们转动惯量都能够按公式计算，而带孔圆盘转动惯量能够由叠加法求出！正质量大圆盘对盘心O转动惯量为：27/64两个负质量小圆盘对O轴转动惯量为：于是带孔圆盘对O轴转动惯量为：28/64练习1：一可忽略质量轻质平面正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为m质点(平行轴定理)。求：1）此质点系垂直于正方形平面且过中心轴OZ转动惯量。

2）若转轴平移至其中一个顶点，转动惯量为多少？3）若转轴平移至正方形一边中点，转动惯量为多少？OZ29/64练习2：求如图所表示刚体对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量。LRm0mLZ30/64五

转动定律应用定轴转动刚体与可视为质点物体组成系统力学问题。处理这类问题方法与处理质点力学问题相同：1）选取研究对象2）分析各隔离体所受力或者力矩，判断各隔离体运动情况3）应用牛顿定律（质点）或转动定律（刚体）分别列出方程4）建立角量与线量之间关系（质点与刚体之间联络）5）连列方程求解简单刚体定轴转动，直接应用转动定律求解。31/64

例5一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.因为此竖直放置细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆约束力作用，由转动定律得32/64式中得由角加速度定义代入初始条件积分得33/64

例6质量为物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计绳索相连接，绳索跨过二分之一径为R、质量为圆柱形滑轮C，并系在另一质量为物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间摩擦力可略去不计.问：（1）两物体线加速度为多少？水平和竖直两段绳索张力各为多少？（2）物体B从静止落下距离

时，其速率是多少？ABC34/64ABCOO35/64解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，利用牛顿第二定律、转动定律列方程.36/64如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落速率ABC37/64力矩时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点角动量定理和角动量守恒定律

力时间累积效应冲量、动量、动量定理.3角动量角动量守恒1质点角动量质量为质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

位矢为，质点相对于原点角动量大小方向符合右手法则.38/641）质点以角速度作半径为

圆运动，相对圆心角动量2）角动量与位矢和动量相关，即与参考点O选择相关。所以，在讲述质点角动量时，必须指明是针对哪一点角动量。3）角动量定义并没有对质点运动做任何限制，做直线运动质点对选定参考点一样含有角动量。39/64作用于质点协力对参考点O

力矩，等于质点对该点O

角动量随时间改变率.2质点角动量定理40/64

质点所受对参考点O协力矩为零时，质点对该参考点O角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩质点（系）角动量定理：对同一参考点O，质点（系）所受冲量矩等于质点（系）角动量增量.3质点（系）角动量守恒定律41/64

例7二分之一径为R

光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上点A

(该点在经过环心O水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间摩擦略去不计.求小球滑到点B

时对环心O

角动量和角速度.解小球受重力和支持力作用,支持力力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点角动量定理42/64考虑到得由初始条件积分上式43/64二刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律1刚体定轴转动角动量2刚体定轴转动角动量定理非刚体定轴转动角动量定理O44/64

角动量守恒定律是自然界一个基本定律.

内力矩不改变系统角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动角动量定理3

刚体定轴转动角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量45/64有许多现象都能够用角动量守恒来说明.自然界中存在各种守恒定律动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等花样滑冰跳水运动员跳水46/64

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中应用

47/64角动量定理和角动量守恒定律应用例8质量为Ｍ，半径为Ｒ转台，可绕过中心竖直轴无摩擦转动。质量为ｍ一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开始时，人和台处于静止状态。假如这个人沿着半径为ｒ圆周匀速走一圈，设它相对于转台运动速度为ｕ，求转台旋转角速度和相对地面转过角度。Ｒｒ48/64分析：以人和转台为一系统，设系统没有受到外力矩作用，所以系统角动量守恒。应用角动量定律时，其中角速度和速度都是相对于惯性系而言。所以，人在转台走动时，必须考虑人相对地面速度。解：对于人和转台形成系统，角动量守恒（思索？）设人对地面速度为，转台对地面转速为

，则有：而：49/64代入得：其中，“-”表示转台转动方向与人在转台走动方向相反。因为u为恒量，则也为恒量，即匀速转动。设在时间t内转台相对地面转过角度为，则有50/64？51/64力矩功一力矩作功力空间累积效应

力功,动能,动能定理.力矩空间累积效应力矩功,转动动能,动能定理.二力矩功率4转动中功和能52/64三转动动能四刚体绕定轴转动动能定理合外力矩对绕定轴转动刚体所作功等于刚体转动动能增量.53/64五含有转动刚体机械能守恒定律由定轴转动刚体与另外物体组成系统，只有保守内力做功时，系统总机械能保持不变。恒量质心到势能零点高度54/64质点运动钢体定轴转动速度角速度加速度角加速度力Ｆ力矩Ｍ质量ｍ转动惯量Ｊ动量角动量质点运动与钢体定轴转动对照表55/64牛二律转动定律

动量定理角动量定理动量守恒定律恒矢量角动量守恒恒矢量动能转动动能功力矩功动能定理转动动能定理56/64角动量守恒定律和机械能守恒定律综合应用例9质量为ｍ小圆环，套在一长为，质量为Ｍ光滑均匀杆ＡＢ上，杆能够绕过其Ａ端固定轴在水平面上自由旋转。开始时，杆角速度为0，两小环位于Ａ点，当小环受到一微小扰动后，即沿杆向外滑动。试求当小环脱离杆时速度。ＡｍＢ57/64Note：小球脱离杆时速度是由环沿杆速度和杆旋转时环沿圆周运动切向速度合成结果，所以环