山东省烟台市中英文学校2025届高三数学上学期冬学竞赛试题

PAGEPAGE8山东省烟台市中英文学校2025届高三数学上学期冬学竞赛试题单选题：本大题共8个小题.每小题5分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.2.已知全集，集合,集合，那么=（）A. B. C. D.3、已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件4、已知为等差数列，为其前项和，若，则（）A.49 B.91 C.98 D.1825、已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位6、已知向量，，，则（）A. B. C.5D.257、函数的图象大致是A. B. C. D.8、已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共4个小题.每小题5分，漏选得3分，错选不得分，共20分9、设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（）A.B.C. D.、均为的最大值10、下列命题正确是：（）A.函数的图像关于坐标原点对称，B.若，，，，则，C.假如函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为D.设、，是随意的非零平面对量，且相互不共线，则不与垂直11、对于函数，下列正确的是（）A.是函数的一个极值点B.的单调增区间是，C.在区间上单调递减D.直线与函数的图象有3个交点如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间,（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离.设，，则（）函数为减函数当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D、当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.谈祥柏先生是我国闻名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广阔读者宠爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告知我们，古埃及人宠爱运用分子为1的分数（称为埃及分数）.假如两个埃及分数与的和表示等.从这个埃及分数中挑出不同的个，使得它们的和为，这三个分数是．（依据从大到小的依次排列）14.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴上的非负半轴，，点是终边上一点，则的值是．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=.设函数的最大值为，最小值为，则=___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．其中17题10分，其它题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，求的值.18、在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角的对边分别为，且满意.，求的面积.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19、已知数列前项和为，其中为常数．（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．20、在数列中，已知，，且对于随意正整数都有.（1）令，求数列的通项公式.（2）求的通项公式.21、已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若函数与有相同极值点．①求实数的值；②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围．22、已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为.求；探讨函数和的单调性；设，求证：数学答案1、复数，共轭复数为，故答案为B．2.由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以.故答案为CA4∵，∴，即，∴，故选B．5、函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.6、解：∵向量，∴，

∵，，

，.故选：C.7、当时，故函数图像过原点，解除又，令则可以有多数解，所以函数的极值点有许多个，故解除故函数在无穷域的单调区间呈周期性改变结合四个选项，只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式推断函数图像的大体形态，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特别值代入验证．8、解：函数为偶函数，且的最大值为1，由的导数为，

可得时，递增，或，递减，

取得微小值，

作出，的图象，

函数有4个零点，即为有四个解，

可令，

若，则，则有3解，不符题意；

若，则有4解，两个负的，两个正的，

则可能有4，6解，不符题意；

若，则有4解，两个负的，两个正的，（一个介于，一个大于1），

则有6解，不符题意；

若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于1），

则有4解，符合题意.故选：B.9、解：由得，即，

又∵，，，故B正确；

同理由，得，

，故A正确；

对C，，即，可得，由结论，明显C是错误的；

与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，娴熟应用公式是解题的关键.10、解：对A：的定义域为，，则为奇函数，故A正确；对B：由得，则，故，故B正确；对C：由题可得，得，解得，则当时，的最小值为，故C正确；对D：，则与垂直，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.11、解：由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，，又，依据在上单调递减得得，所以直线与函数图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.AC13、14、15、解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．则tan（θ）＝﹣tan（）．故答案为．16、，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.17、解：（1），的最小正周期为；（2），∴，，则，∴，∵，∴，又的面积为，∴，∴，则，，由余弦定理得.18、在横线上填写①“”解：由正弦定理，得由，得，由，得．所以又（若，则．这与冲突），所以．又，得.由余弦定理及，得.即．将代入，解得．所以．在横线上填写②“”解：由及正弦定理，得．又，所以有因为，所以．从而有．又所以.由余弦定理及，得，即．将代入，解得．所以．在横线上填写③“”解：由正弦定理，得.由，得，所以．由二倍角公式，得由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得，即．将代入，解得．所以．19、（I）由题设，，．两式相减得，．由于，所以．（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，．因此存在，使得为等差数列．20、解：（1）由已知可得，即，则是公比为的等比数列，又，所以，即；（2）由（1）知，所以，令，有，则是公比为的等比数列，又，所以，所以.21、（1），由得，由得，∴在上为增函数，在上为减函数，∴函数的最大值为；（2）∵，∴，（Ⅰ）由（1）知，是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，∴是函数的极值点，∴，解得，经检验，当时，函数取到微小值，符合题意；（ⅱ）∵，，，∵，即，∴，，由（ⅰ）知，∴，当时，，当时，，故在为减函数，在上为增函数，∵，而，∴，∴，，①当，即时，对于，不等式恒成立，∵，∴，又∵，∴，②当，即时，对于，不等式，，∵，∴，又∵，∴．综上，所求的实数的取值范围为．22、解：（1）对求导，得.因此.又因为.所以曲线在点处的切线方程为，即.由题意，明显适合上式.令