浙江专用2025届高考数学一轮复习专题八立体几何8.1空间几何体的表面积与体积试题含解析

PAGE1-专题八立体几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、空间几何体结构特征及体积与表面积公式1.相识柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简洁物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.1.从近几年高考考查内容来看,这一部分主要考查空间几何体与涉及数学文化、空间几何体的表面积与体积、几何体的外接、内切球的计算,考查空间几何体侧面绽开图问题,题型既有选择题,也有填空题,难度适中.2.这一部分突出对空间直线、平面位置关系的推断,会求两异面直线所成的角,在解答题中主要是考查直线与平面平行、垂直的判定与性质,常出现在解答题第一问,难度中等,解题时留意线线、线面、面面平行、垂直位置关系的相互转化.3.利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角(特殊是二面角)、空间距离均是高考的热点,通过向量的运算来证明直线平行、垂直,求夹角,难度中等,以解答题形式出现,把立体几何问题转化为空间向量问题.1.强化识图实力,还原成自己熟识的几何体.2.对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、绽开或割补.3.重视立体几何最值问题的探讨.4.平面绽开图(折线转化成直线).5.完善学问网络,强调通性通法,以下是平行垂直关系的转化关系图.6.加强空间向量对垂直问题的探讨:空间直角坐标系的建立是基于三线两两垂直的,因此只有真正驾驭了对垂直关系的推断、论证的探讨方法,真正理解法向量的自由性,以及求法向量的方法,才能使问题顺当解决.二、空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.能运用公式、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简洁命题.3.以立体几何的定义、公理和定理为动身点,相识和理解空间中线、面平行的判定定理与有关性质.4.以立体几何的定义、公理和定理为动身点,相识和理解空间中线、面垂直的判定定理与有关性质.三、空间向量运算及立体几何中的向量方法1.驾驭空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示、用向量的数量积推断向量的平行与垂直.2.理解直线的方向向量与平面的法向量.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在探讨几何问题中的作用.【真题探秘】§8.1空间几何体的表面积与体积基础篇固本夯基【基础集训】考点一空间几何体的结构特征1.给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.

答案②③④2.给出下列命题:①在圆柱上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;③用随意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体肯定是圆锥;④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;⑤圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;⑥一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的序号是.

答案⑤3.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,则原图形OABC的形态是.

答案菱形4.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O'A'B'C'的面积为2,则原梯形的面积为.

答案4考点二空间几何体的体积5.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.答案C6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为()A.6πB.43πC.46πD.63π答案B7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的体积为.

答案1483考点三空间几何体的表面积8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,且AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积是.

答案169π9.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是.

答案50π综合篇知能转换【综合集训】考法一与表面积和体积有关的问题1.(2024课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长改变时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.

答案4152.(2025届浙江东阳中学10月月考,16)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C是PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为.

答案2考法二与球有关的切、接问题3.(2024课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2答案B4.(2024皖中入学摸底,10)将半径为3,圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处A.2π3B.3π答案A5.(2024四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.323πB.48πC.24πD.16π答案A6.(2024江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2答案37.(2024湖南师大附中模拟,16)在体积为43的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是答案928.(2024江西南昌二中1月模拟,16)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA=3,SB=23,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为.

答案21π应用篇知行合一【应用集训】1.(2024课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B2.如图,有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,假如不计容器的厚度,则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3C.1372π3cm3D.答案A3.(2024课标Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

答案118.8【五年高考】考点一空间几何体的结构特征1.(2024课标Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的全部顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,其次空3分)

图1图2答案26;2-1考点二空间几何体的体积2.(2024课标Ⅰ,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.86πB.46πC.26πD.6π答案D3.(2024山东,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2A.2π3B.4π3C.答案C4.(2024江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.

答案105.(2024天津,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.

答案π6.(2024天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.

答案17.(2024江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其全部面的中心为顶点的多面体的体积为.

答案48.(2024天津,10,5分)已知一个正方体的全部顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.

答案929.(2024江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.

答案710.(2024江苏,17,14分)现须要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形态是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形态是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13·A1B12·PO1=13×6正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h(m).连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+13a2·h=133a2h=263(36h-h3从而V'=263(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=23或h=-23当0<h<23时,V'>0,V是单调增函数;当23<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=23时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=23m时,仓库的容积最大.方法指导(1)依据已知条件求出相关数据,进而利用相应体积公式求解.(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变量的函数,进而转化成探讨函数最值的问题.评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础学问,考查空间想象实力和运用数学模型及数学学问分析和解决实际问题的实力.考点三空间几何体的表面积11.(2024课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C12.(2024课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为答案402π【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2025届山东夏季高考模拟,5)已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=π2,SB=4,SC=213A.4B.6C.43D.63答案C2.(2025届九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为闻名的是胡夫金字塔,令人惊讶的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长假如除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为()A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案C3.(2025届广东广州中学10月月考,7)已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于()A.4πB.163πC.32答案D4.(2025届山东寿光现代中学10月月考,10)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于()A.4πB.8πC.16πD.24π答案C5.(2025届辽宁瓦房店高级中学10月月考,11)一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为π4A.8πB.4(2-2)2πC.4(2+2)2πD.32(答案B6.(2024宁夏银川质量检测,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和3,此三棱柱的高为23,则该三棱柱的外接球的体积为()A.32π3B.16π3C.8π答案A7.(2024广东惠州二模,10)已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是()A.33B.1C.3D.答案A8.(2025届辽宁阜新高级中学10月月考,11)在三棱锥S-ABC中,AB=10,∠ASC=∠BSC=π4,AC=AS,BC=BS,若该三棱锥的体积为15A.πB.43πC.5πD.π答案B9.(2025届河北衡水中学模拟,11)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,将这个菱形沿对角线BD折起,使得平面DAB⊥平面BDC,若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5π,则AB的长为()A.52B.3C.5答案B10.(2025届湖南长沙一中第一次月考,12)已知三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1,当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时,球O的表面积为()A.5π3B.2πC.5πD.答案A二、多项选择题(每题5分,共15分)11.(改编题)已知三棱锥A-BCD中,BC⊥CD,AB=AD=2,BC=1,CD=3,则()A.三棱锥的外接球的体积为4π3B.三棱锥的外接球的体积为C.三棱锥的体积的最大值为36D.三棱锥的体积的最大值为答案AC12.(改编题)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中正确的是()A.存在某个位置,使得CN⊥AB1B.CN的长是定值C.若AB=BM,则AM⊥B1DD.若AB=BM=1