概率在中学数学中的应用

20-LULIANGUNIVERSITY分类号:密级:毕业论文（设计）题目:概率在中学数学中的应用系别:数学系专业年级:姓名:学号:指导教师:概率在中学数学中的应用摘要概率是对随机现象统计规律的研究,是研究随机现象数量规律的学科,概率作为描述随机事件发生可能性大小的度量,已经渗透到人们的日常生活中,成为数学的重要组成部分.本文是对概率在中学数学中的应用进行简单的研究分析,并对中学数学中概率论讨论的主要内容:概率,古典概型,几何概型逐一进行分析,分别介绍了这三种概率模型的定义,概率求法,要求以及它们之间的关系.主要介绍了概率统计与其他知识的交汇:概率与函数的交汇,概率与数列的交汇,概率与方程的交汇,概率与不等式的交汇,概率与三角函数的交汇,概率与几何的交汇,通过研究学科知识的渗透,融合,而增强对中学学科整体性的把握;揭示了构造概率模型来解决一些数学问题;应用概率知识巧妙的解决一类最值问题,进行了举例证明,让概率知识在中学数学中得到更好的应用.关键词:概率;概率模型;古典概型;几何概型TheapplicationoftheprobabilityinthemiddleschoolmathematicsAbstractTheprobabilityisthestudyofrandomphenomenastatisticalregularity,isthestudyofrandomnumberlawsubjects,probabilityasadescriptionofthesizeofthepossibilityofarandomevent,haspenetratedintoPeople'sDailylife,becomeanimportantpartofmathematics.Inthispaper,theprobabilityofapplicationinthemiddleschoolmathematicstocarryonthesimpleanalysis,andprobabilitytheorytodiscussthemaincontentofinthemiddleschoolmathematics:probability,classicalsubscheme,geometricmodelonebyoneanalysis,respectively,thispaperintroducesthedefinitionofthethreekindsofprobabilitymodelandprobabilitymethod,andtherelationshipbetweenthem.Andrevealstheprobabilityandstatisticsandotherknowledgeofintersection:probabilityandthefunctionoftheintersection,probabilityandsequenceoftheintersection,theintersectionofprobabilityandequationofprobabilityandinequality,probabilityandtriangleintersection,probabilityandtheintersectionofgeometry,throughtheinfiltrationofresearchsubjects,integration,andenhancethegraspofintegrityofschooldiscipline;Revealsthestructureofsomeprobabilitymodeltosolvemathematicalproblems;Revealstheapplicationofprobabilityknowledgeskillfullysolvethemostvalueproblems,forexampleprovesthattheprobabilityknowledgetogetbetterapplicationinthemiddleschoolmathematics.Keywords:probability;Probabilitymodel;Classicalsubscheme;Geometryofthescheme目录TOC\o"1-3"\h\u10187第1章绪论 -17-.点评当根据条件直接求区域边界方程比较困难时,我们有时可通过引进参数,建立参数方程,最后利用消参的方法求得,本题对三角变换的要求比较高,是一道概率与三角交汇在一起的综合题．3.1.6概率与几何的交汇例3.1.6图3-2所示,设正四面体的棱长为lm,一只蚂蚁从点开始按以规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这条棱的尽头,设它爬了以后恰好位于顶点的概率是,求值.+图3-2解析蚂蚁爬过米后,要么在点,要么不在A点,“在点”与“不在点”是互相对立事件．设表示蚂蚁走过米后又回到点的概率．那么走过米又不在点的概率便是．现在让蚂蚁再多走米,无非两种可能:若蚂蚁走第米时已在点,那么它不管向哪个方向爬1米,均不可能再在点;若蚂蚁走第米时不在点,那么它不管位于、或,爬1米后又回到点的概率都是．由此可见:,这个式子对以上两种情况都适用.由于,所以,所以.点评本题以立体图形为依托,经认真分析与推理,构造出递推数列模型求出蚂蚁爬了以后恰好位于顶点A的概率,再与比较而求出值,本题颇具趣味性、思考性和挑战性,是一道典型的学科内综合题．通过以上典型例题的分析和解答,可以看出,与概率交汇的综合性问题是考查学生数学能力和数学素养的极好素材,同时也是学生将来学习高等数学必不可少的重要基础知识,应引起广大教师和同学们的足够重视．3.2构造概率模型在解题中的应用中学数学分科多,知识容量大,各分科的内在联系需要我们主动去努力发掘,打破教学造成的思维局限,获得互相渗透、灵活转化的效果．概率是中学数学新增内容,利用概率思想,通过构造恰当的概率模型,解决一些其他数学分科的问题,是一种别开生面的解题方法．本文举例说明这种方法在证明恒等式与不等式方面的应用,旨在为探索解题新思路抛砖引玉．3.2.1证明恒等式例3.2.1证明:证明设事件在一次试验中发生的概率为,则次独立重复试验中恰好发生次的概率为,故,从而可得.例3.2.2证明证明设袋中有个白球和个黑球,事件表示从中取个球至少有一个是白球．一方面,取到个球的概率为,所以另一方面,不取白球的概率为,所以,故,即.3.2.2证明不等式例3.2.3已知,证明:证明因为,所以,故可设、、为三个独立事件,且,,,则即.例3.2.4证明:若、、为三角形三边长,且,则证明因为、、为三角形三边长,同理设、、为三个独立事件,且则,从而有.3.3应用概率知识求最值概率是新课程中的热点内容,在概率教学中,适当说明构造概率模型在解题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密联系,对增强学生的学习兴趣,加深学生对概率知识的理解,都是很有裨益的.最值问题是中学数学常见问题,文利用向量简捷巧妙的解决了一类最值问题,本文将另辟蹊径,利用一个概率定理求此类最值,以此展示解决此类问题的概率视角,希望对读者有所启发.定理设离散型随机变量的分布列为则当且仅当时等式成立.证明即证.3.3.1一次方程约束下的最值问题例3.3.1已知求的最小值.解设离散型随机变量的分布列为则有,由,得,当且仅当时取最小值60.3.3.2一次不等式约束下的最值问题例3.3.2如果实数满足那么的最小值是（）解整理条件得.设离散型随机变量的分布列为,则有,,由,得,解得,即的最小值是.3.3.3二次方程约束下的最值问题例3.3.3已知实数满足方程,求的最值.解,设离散型随机变量的分布列为,则有,则由,得,即得.所以的最小值是0,最大值是10.3.3.4一次方程和二次方程约束下的最值问题例3.3.4设实数适合,则（）解方程化为设离散型随机变量的分布列为则有,,则,得,解得,故.3.3.5分式方程约束下的最值问题例3.3.5已知,且,求的最小值.解设离散型随机变量的分布列为,则有,,由,得,即的最小值为.3.3.6三角方程约束下的最值问题例3.3.6若,求的最大值.解因为,,所以,设离散型随机变量的分布列为,则有,由,得,即所求最大值为.

第4章结论通过对概率在中学数学中的应用这一课题的研究有以下结论:1.学生认识所学概率的有关内容及要求;2.通过一个以活动为主的短期教学计划是否能够增进普通中学学生对概率这一概念的理解:文献[6]揭示了概率统计与其他知识的交汇:概率与函数的交汇,概率与数列的交汇,概率与方程的交汇,概率与不等式的交汇,概率与三角的交汇,概率与几何的交汇,通过研究学科知识的渗透,融合,而增强对中学学科整体性的把握;文献[7]揭示了构造概率模型来解决一些数学问题,文献[8]揭示了应用概率知识巧妙的解决一类最值问题,让概率知识在中学数学中有更好的应用.

参考文献[1]周阳.中学概率的教学研究[D].硕士学位论文,2009.[2]陈旭明.新课程理念下的高中概率教学研究[D].硕士学位论文,2005.[3]钟志华.对高中新课程中概率教学的认识[J].数学教育学报,2006(2):34[4]粱好翠.中学概率统计中的数学思想及其教学[J].中学数学教与学(人大复印资料),2007(1):26-28[5]陈萍,包素华.关于概率统计教学改革的思考[J].衡水学院学报,2005(9):25-30[6]肖习亮,王勇.概率—高中数学的一个重要交汇[J].上海中学学报,2005(6):31-33[7]陆坤.构造概率模型解数学题[J].解题方法与技巧,2005(1):57[8]李建新.巧用向量求值[J].中学数学杂志(高中),2004(6):56[9]任念兵.浅谈构造概率统计模型解题[J].中学数学杂志(高中),2005(1):22-28[10]任念兵.一类最值问题的概率视角[J].中学数学杂志(高中),2005(3):34-35致谢这几年的本科学习中,首先我要心地感谢我的指导老师樊利利老师．本文是在她的细心指导下完成的.恩师高尚的品德、渊博的学识、