高考数学一轮复习 第二章 第7讲 函数的图象及其应用配套限时规范训练 理 苏教版

第7讲函数的图象及其应用分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋3.2．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上有两点P(2，y1)与Q(1，y2)，若y1－y2＝2，则a＝________.解析y1＝a2，y2＝a，于是a2－a＝2，得a＝2(a＝－1舍)．答案23．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断：①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；④10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析将上述①，④两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与直线y＝x(或y＝－x)的交点问题来处理；将②，③两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与二次函数y＝x2的图象的交点问题来处理．答案②③4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析利用函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)5．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．解析根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x图象的交点个数为4.答案46．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：①b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；③方程f(x)＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析①f(x)＝x|x|＋c＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋cx≥0，,－x2＋cx＜0，))如图甲，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)＝0只有一个实数根，正确．②c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，显然是奇函数．③当c＝0，b＜0时，f(x)＝x|x|＋bx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bxx≥0，,－x2＋bxx＜0.))如图乙，方程f(x)＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②.答案①②二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．解(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－a，x≥0，,－xx－a，x＜0，))其图象如图．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))；单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))).(3)结合图象知，当eq\f(a,2)>1，即a>2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；当0<eq\f(a,2)≤1，即0＜a≤2时，所求最小值f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).8．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．思维启迪利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞,－x－22＋1，x∈1，3))作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m<1，∴M＝{m|0<m<1}．探究提高(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．分层训练B级创新能力提升1.设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.答案62．若直线x＝1是函数y＝f(2x)的图象的一条对称轴，则f(3－2x)的图象关于直线________对称．答案x＝eq\f(1,2)3.已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示．对满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：①f(x1)－f(x2)＞x1－x2；②x2f(x1)＞x1f(x2)；③eq\f(fx1＋fx2,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).其中正确结论的序号是________．解析由f(x2)－f(x1)＞x2－x1，可得eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＞1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))的连线斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)＞x1f(x2)得eq\f(fx1,x1)＞eq\f(fx2,x2)，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案②③4．(·淮安市模拟)若m－eq\f(1,2)<x≤m＋eq\f(1,2)(m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.给出下列关于函数f(x)＝x－{x}的三个命题：①y＝f(x)定义域为R，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))；②y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；③y＝f(x)在定义域上是增函数．其中正确命题的序号是________．解析取m＝－1,0,1,2，…，得f(x)＝x＋1，－eq\f(3,2)<x≤－eq\f(1,2)；f(x)＝x，－eq\f(1,2)<x≤eq\f(1,2)；f(x)＝x－1，eq\f(1,2)<x≤eq\f(3,2)；f(x)＝x－2，eq\f(3,2)<x≤eq\f(5,2)，…作出f(x)＝x－{x}的图象可知命题①②正确．答案①②5．已知不等式x2－logax<0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时恒成立，求实数a的取值范围．解由x2－logax<0，得x2<logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.由题意知，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤loga\f(1,2)，))解得eq\f(1,16)≤a＜1.∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).6．已知函数f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a＞0，a≠1)．(1)证明函数y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．(1)证明函数f(x)的定义域为R，任意一点(x，y)关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))，则－1－y＝－1＋eq\f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq\f(ax,ax＋\r(a)).f(1－x)＝－eq\f(\r(a),a1－x＋\r(a))＝－eq\f(\r(a),\f(a,ax)＋\r(a))＝－eq\f(\r(a)·ax,a＋\r(a)·ax)＝－eq\f(