2025届福建闽侯第六中学高三下学期高中等级考质量抽测数学试题试卷含解析

2025届福建闽侯第六中学高三下学期高中等级考质量抽测数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8 B．7 C．6 D．42．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线3．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．4．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．设集合，则()A． B．C． D．6．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．7．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．58．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立9．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（）A． B．6 C． D．10．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．11．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()A．1 B．2 C． D．12．已知若在定义域上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若满足约束条件，则的最小值是_________，最大值是_________.14．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.15．已知角的终边过点，则______.16．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值.18．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．（1）求及；（2）设，设数列的前项和，证明：．20．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.21．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形；（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.22．（10分）设数列的前列项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.2．C【解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．3．B【解析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.本题考查函数图象的判断，属于常考题.4．D【解析】

设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5．B【解析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.6．B【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.7．C【解析】

由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【详解】.故选：C本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．8．D【解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．9．D【解析】

根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为：,故选：D本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.10．B【解析】

结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.11．D【解析】

设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．【详解】由题意，正项等比数列中，，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去，故选D．本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．12．C【解析】

先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.①当时，由，得，解得，此时；②当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，，则，此时；当时，，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．06【解析】

作不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果．【详解】作出可行域，如图中的阴影部分：求的最值，即求直线在轴上的截距最小和最大时，当直线过点时，轴上截距最大，即z取最小值，．当直线过点时，轴上截距最小，即z取最大值，.故答案为：0；6.本题主要考查了线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于中档题．14．【解析】

构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得的值．【详解】解：∵角的终边过点，∴，，∴，故答案为：．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．16．5【解析】

由，，且，得，解得，则，则．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），.（2）【解析】

（1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.（2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），消去得，把，代入得，从而得的极坐标方程为，∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，∴直线的极坐标方程为.（2）将代入曲线的极坐标方程分别得到，则.本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.18．（1），（2）【解析】

（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.【详解】（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，因为，整理得，又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；（2）由（1）可知，，，即.此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.19．（1），；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和；（2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明.【详解】（1）设的公差为，由题意有，且，所以，；（2）因为，所以，.本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.20．（1）；（2）或【解析】

（1）消去参数可得圆的直角坐标方程，再根据，，即可得极坐标方程；（2）写出直线的极坐标方程为，代入圆的极坐标方程，根据极坐标的意义列出等式解出即可.【详解】（1）圆：，消去参数得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直线：的极坐标方程为，当时.即：，∴或.∴或，∴直线的倾斜角为或.本题主要考查了参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义，属于中档题.21．（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.【解析】

（1）根据两个曲线的焦点相同，得到，再根据与的公共弦长为得出，可求出和的值，进而可得出曲线的方程；（2）设点，根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，利用向量的数量积得出，则问题得以证明；（3）设直线，直线，、、，推导出以及，求出和，通过化简计算可得出为定值，进而可得出结论.【详解】（1）由知其焦点的坐标为，也是椭圆的一个焦点，，①又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，，②联立①②，得，，故的方程为；（2）如图，，由得，在点处的切线方程为，即，令，得，即，，而，于是，因此是锐角，从而是钝角.故直线绕点旋转时，总是钝角三角形；（3）设直线，直线，、、，则，设向量和的夹角为，则的面积为，由，可得，同理可得，故有.又