湖北省黄冈市2016-2017学年高一下学期期末考试理科数学试题

黄冈市2017年春季高一年级期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【详解】选项A中，当c=0时不符，所以A错．选项B中，当时，符合，不满足，B错．选项C中,,所以C错．选项D中，因为，由不等式的平方法则，，即．选D.2.设数列{an}是等差数列，若a2＋a4＋a6＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A.14 B.21 C.28 D.35【答案】C【解析】【详解】由题意可知，a1＋a2＋…＋a7=，选C.3.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，，则可能平行，错；，，由线面平行的性质可得，正确；，，则，与异面；错，，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有.又,故.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.5.已知在等比数列中，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为q，由于，可得．进而可得．【详解】由得：，又因为，而所以，，即，又因为，而，所以，.故选．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.从点(2,3)射出的光线沿斜率k＝的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0【答案】A【解析】【详解】由题意可得入射光线为，即，所以与y轴交点坐标也在反射光线上，同时反射光线斜率为，即直线为，化简得．选A.7.若为锐角，且满足，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据为锐角，且，，利用平方关系求得，再由，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为为锐角，且，，所以，所以故，，故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.若动点，，分别在直线和上移动，则的中点M所在直线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意知,M点轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为.本题选择D选项.9.已知某几何体的三视图如下右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：10.将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2018位于第()组．A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C【解析】【详解】2018是第1009个偶数，偶数个数N=2+4+6+…,第n组共2n个数，至第第n组共n(n+1)个数，当n=31时，共992个数．所以第1009个偶数在第32组．选C.11.若实数x、y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由满足的约束条件画出可行域，如图：目标函数表示区域内的动点与定点连线的斜率由图可知是最小值，故的取值范围是故答案选点睛：线性规划转化为几何意义，转化为可行域内的点到点连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．12.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】为确定F点位置，先找过与平面平行且与平面相交的平面，分别取的中点，连接，可知平面平面，故F在线段上，可知线面角为，分析其正切值即可求出.【详解】设平面与直线交于点，连接，则为的中点.分别取的中点，连接，则，∵平面，平面，∴平面，同理可得平面.∵是平面内的两条相交直线，∴平面平面，且平面，可得直线平面，即点是线段上的动点.设直线与平面所成角为，运动点并加以观察，可得：当点与点（或）重合时，与平面所成角等于，此时所成角达到最小值，满足；当点与中点重合时，与平面所成角达到最大值，此时，∴与平面所成角的正切值构成的集合为，故选D.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.二、填空题（每小题5分，本题共20分）13.若关于x的不等式的解集是，则m等于________．【答案】2【解析】【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理关系求.【详解】解：∵的解集是，∴，是相应方程的两根，，解得：或（舍）故答案为：2．14.若，则___________．【答案】【解析】【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．【详解】解：，即，故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．15.若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于________．【答案】2【解析】【详解】试题分析：根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让其等于列出关于AC的方程，求出方程的解即可得到AC的值，然后根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，得到△ABC，即可得到三角形的三边相等，即可得到边AB的长度．解：根据三角形的面积公式得：S=BC•ACsinC=×2ACsin60°=AC=，解得AC=2，又BC=2，且C=60°，所以△ABC为等边三角形，则边AB的长度等于2．故答案为2点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，是一道基础题．16.已知不等式组表示的平面区域为，则（1）的最小值为_____________．（2）若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是_________．【答案】①.②.【解析】【分析】由题意作平面区域，（1）利用目标函数的几何意义，求解的最小值；（2）利用图形，求出图形中，，坐标；化简，从而确定最值．【详解】解：由题意作不等式组平面区域如图：（1）的最小值为原点到的距离的平方，所以．（2）结合图象可知，，可得，由解得．当时，，解得，时，，的范围在，，之间取得，，经过时，可得，即，有最小值为；经过可得，可得，即最大值为；经过可得，．函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围：．故答案为：，．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(－5，－3)，C(4,0)；(1)当a∈(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；(2)当a＝2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由直线斜率公式代入坐标，求的范围，再由，可求倾斜角范围．（2）BC边上高斜为满足，可求得，过点A,可求．试题解析：（1）又，则，又，（2），AH为高，故又过点即18.在△中，，，分别是角，，的对边，，且．（1）求角；（2）求边长的最小值．【答案】（1）（2）1【解析】【详解】试题分析：（1）先由正弦定理将边化为角：再根据两角和正弦公式、三角形内角关系、诱导公式化简得（2）由余弦定理得，再根据基本不等式求最值试题解析：（I）由已知即△中，，故（Ⅱ）由（I）因此由已知故的最小值为1．考点：正余弦定理，基本不等式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．19.已知，和直线l：4x＋3y－2＝0．（1）求在直角坐标平面内满足|PA|＝|PB|的点P的方程；（2）求在直角坐标平面内一点P满足|PA|＝|PB|，且点P到直线l距离为2的坐标．【答案】（1）x－y－5＝0（2）或【解析】【分析】（1）由|PA|＝|PB|，可得点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，从而即可求解；（2）由（1）可知点P的方程x－y－5＝0，设点P的坐标为(a，b)，再由点到直线的距离公式，联立列方程组即可求解．【小问1详解】解：∵，，∴线段AB的中点M的坐标为，又，∴线段AB垂直平分线方程为y＋2＝x－3，∵|PA|＝|PB|，∴点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，∴点P的方程x－y－5＝0；【小问2详解】解：设点P的坐标为(a，b)，∵点P(a，b)在（1）中直线上，∴a－b－5＝0①，又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴＝2，即4a＋3b－2＝±10②，联立①②可得或，∴所求点P的坐标为或.20.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．（1）求证：VD平面EAC；（2）求二面角A—VB—D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中位线，根据线面平行的判定定理，即可得证.（2）设的中点为，则平面，如图建立坐标系，求得各点坐标，进而可得，，的坐标，即可求得平面和平面VAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可得答案．【详解】（1）由正视图可得：平面平面，连接交于点，连接，由已知可得∴平面，平面∴平面.（2）设的中点为，连接VP，侧视图为正三角形，，则平面，以PB为x轴正方向，连接PO并延长，作为y轴正方向，以PV为z轴正方向，建立如图所示坐标系，则，，设是平面的法向量，由，可得，令，则，∴，平面平面，，平面VAB，即即为平面VAB的一条法向量，∴二面角的余弦值为.21.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为．（利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围．（2）怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元【解析】【分析】（1）将两个产品的利润相加，求得利润总和的表达式.（2）对函数表达式化简后，根据基本不等式，求得的最大值，再根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.【详解】（1）已知x万元资金投入A产品，则剩余的万元资金投入B产品，设利润总和为y，则．（2）因为,所以由均值不等式得，当且仅当,即时获得最大利润28万元．此时投入A产品20万元，B产品80万元．【点睛】本小题主要考查利用基本不