函数的单调性与最值（一）教学设计-高一上学期数学

《函数的单调性与最值》的教学设计一、教学内容解析本节课是湖南教育出版社《数学》（必修1第一册）第三章第2节函数的基本性质的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用。它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、节不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证。学情分析学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势。本节课最大的障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。而高一学生的思维长出在从经验型到理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强，另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。这些都容易产生思维障碍。三、课堂教学目标1.理解函数单调性与最值的相关概念，掌握证明简单函数单调性的方法。2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比思想方法。通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力。四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采用以下形式组织学习材料：在“创设情境”阶段，观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让直观感受函数单调性，明确相关概念。在“引导探索”阶段，首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。在“学以致用”阶段。首先通过三个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确，全面而深刻的认识，然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。接着请学生板演实践。五、教学过程（一）创设情境，引入课题【实例】科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线，请你根据曲线图说说气温的变化情况？

【预设】学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问）等。图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质单调性与最值（板书课题）【设计意图】从科考情景情景导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知体温变化，自然引入函数的单调性与最值。

函数是描述事物变化规律的数学模型，如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律，在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质，因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。

（二）引导探索，生成概念1、借助图像，直观感知问题1：观察下列函数图像，请你说出这些图像有什么变化趋势？

xy1234524135123－1－2－30【设计意图】学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。

设函数的定义域为，区间，在区间上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即随的增大而增大，xy1234524135123－1－2－30【设计意图】从图象直观感知到文字描述，完成对函数单调性的第一次认知。明确相关概念，准确表达单调性。学生认为单调性的知识似乎够用了，为下面的认知冲突做好铺垫。问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题3：（1）右图是函数的图象，（以为例），它在定义域上递增吗？（2）函数在区间上有何单调性？【预设】学生会不置可否，或者任凭感觉猜测，可追问判定依据。学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性。借此认知冲突，让学生意识到学习符号化定义的必要性,自然开始探索。把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念问题4：如何从解析式的角度说明在为增函数？如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“随的增大而增大”？以二次函数在上的单调性为例。【设计意图】先借助图形和表格等直观感受“随的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若，则必须有。（2）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？（3）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？（4）已知，若有，能保证函数在区间上递增吗？【设计意图】可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个验证吧？”紧接着师生一起回顾子集的概念（PPT展示教材上子集的定义），再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。问题6：如何用数学语言准确刻画函数在区间上递增呢？【预设】请学生自愿尝试概括定义。板书“任意,当时，都有，则称函数在区间上递增”，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间上递增吗？”问题7：请你试着用数学语言定义函数在区间上是递减的。学以致用，理解感悟判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由。（举例或者画图）①已知，因为，所以函数是增函数。．②若函数满足，则函数在区间上为增函数。．③若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．④因为函数在区间和上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调三点：=1\*GB3①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．=2\*GB3②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．=3\*GB3③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.掌握证法，适当延展例1下图是函数fx的图象，列出f归纳1：①单调区间是要根据端点处是否有定义选择开、闭区间；②单调性一致的多个单调区间之间用“，”或“和”连接,慎用“∪”；③不是所有的函数都有最值.例2证明函数在上是增函数．1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取,设元求差变形,断号∴∴即∴函数在上是增函数．定论2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：判断并证明函数的单调性。【设计意图】对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式等，并让学生提炼证明的基本步骤。（五）归纳小结，提高认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．（关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验等。）【设计意图】先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高。（六）作业布置，课后延伸1、作业布置：1、P67：例22、教材P82练习：32、课后探究：(1)证明：函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+ℎ∈