新人教A版必修一 函数的图象 学案

2019—2020学年新人教A版必修一函数的图象学案

1.左右平移仅仅是相对X而言的，即发生变化的只是X本身，利用“左加右减〃进行操

作。如果X的系数不是1,需要把系数提出来，再进行变换.

2.上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操

作。但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”.

3.记住几个重要结论

(1)函数尸F(x)与尸f(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=F(x)与y=26—f(2a—x)的图象关于点(a,6)中心对称。

(3)若函数y=Hx)对定义域内任意自变量x满足:F(a+x)=f(a—x),则函数y=F(x)

的图象关于直线x=a对称.

题组被热身小题演练•提知能

TIZUWEIRESHEN..................................................................■

一、走进教材

1.(必修lPu2A组T,改编)李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一

段时间后，为了赶时间加快速度行驶.则与以上事件吻合最好的图象是()

CD

解析距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留

时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快。

答案c

2.（必修1P“A组》改编）下列图象是函数产=错误!的图象的是（）

解析其图象是由尸犬图象中X0的部分和尸*一1图象中x20的两部分组成。故

选C。

答案C

二、走近高考

3.（2018•全国卷m）函数y=—f+f+2的图象大致为（）

解析易得函数尸一x'+/+2为偶函数，/=-4三+2矛=一2双错误!8+1）（错误!

x—1）,令）0,即2x（错误!x+1）（错误!x-1）<0,解得x〈一错误!或（KK错误！，所

以当V〈0时，一错误!〈水0或X〉错误!，所以函数y=-x'+f+2在错误！，错误!上单调

递增，在错误!，错误!上单调递减。故选D。

本题还可以采用以下方法

解析：令x=0,则尸2,排除A,B项；令尸错误!，则尸一错误！+错误！+2=错误!

+2,令x=；,则尸一错误！+错误！+2=错误!+2,排除C。故选D。

答案D

三、走出误区

微提醒:①函数图象的平移、伸缩法则记混出错；②不注意函数的定义域出错。

4.把函数f（x）=lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数

解析式是。

解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y=ln错误!.

答案y=ln错误！

5.设/'（X）=2',g（x）的图象与/'（x）的图象关于直线y=x对称，力（x）的图象由

g（x）的图象向右平移1个单位得到，则力（x）=

解析与/'（X）的图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数为g（x）=-log2X,再

将其图象右移1个单位得到h（x）=-log2（x—l）的图象。

答案一'log2(X—1)

6.请画出函数y=e'"'+Ix—1]的图象.

解y=错误!其图象如图所示。

■€点例析＜•"'，：做缘微考点•大课堂•

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象

(1)旷=错误!；

(2)尸错误！，+”；

(3)y—|log2x—1I;

(4)y—x—2\xI—1。

解(1)易知函数的定义域为｛xGRlxr-1｝。

y=错误!=-1+错误！，因此由y=错误!的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1

个单位长度即可得到函数尸错误!的图象，如图①所示.

(2)先作出y=错误!'，xd[O,+8)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个

图象向左平移1个单位长度，即得到y=错误！U+1的图象，如图②所示。

(3)先作出尸logu的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分,

将入轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y=|log2X-ll的图象，如图③所示。

(4)尸错误！图象如图。

【互动探究】将本例(4)改为2x—1],其图象怎样画出？

解y=错误!图象如图所示。

潟T1

函数图象的画法

1.直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函

数的特征描出图象的关键点直接作出。

2.转化法：含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。

3.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得

到，可利用图象变换作出。

提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域。

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，

并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

【变式训练】画出下列函数的图象。

(1)y=elM；

(2)y=log2(x+1)I；

(3)y=Ix—2•(x+Do

解(1)因为函数的定义域为｛x|*>0｝且y=e‘"'=x(x)0),所以其图象如图所示。

（2）将函数y=log”的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿不轴翻折上去,

即可得到函数尸Ilog2a+l）|的图象，如图所示。

(3)当x22,g|Jx-2》0时,

y—(x—2)(x+1)=2—x—2=错误!?一错误!;

当x(2,即矛一2〈0时，

y=—(x—2)(x+1)=—/+x+2=—错误!’+错误!.

所以y=错误!

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）。

考点二识别函数的图象

【例2】（2018•浙江高考）函数y=2'sin2x的图象可能是（）

2x=kx(AeZ)，所以x=错误！(女£Z),故排除C。故选D。

答案D

方法

1.抓住函数的性质，定性分析:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从

函数的奇偶性，判断图象的对称性。

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题。

【变式训练】(2019•武汉市调研测试)函数f(x)=6'—2/在［-2,2］上的图象大

CD

解析函数/'5)=/'-2次在［-2,2］上是偶函数，其图象关于y轴对称。A2)=e2

-8,-1(e2-8<0,排除C,D.当xG［0,2］时,/(/)=e'-4x,令(x)=0,得e'=4x。

在同一坐标系中，作出函数力=e*,%=4/的图象(图略)，可得两图象在［0,2］上有一个

交点，即F(x)在[0,2]上有一个零点,设为X。，当A-G[0,照]时，f(x)=e'-4x》o,

f(x)为增函数，当xe[x0,2]时,f(不)=e'—4xW0,/1(x)为减函数，排除B。故选A。

答案A

考点三函数图象的应用微点小专题

方向1：研究函数的性质

【例3】(2019•贵阳市监测考试)己知函数汽x)=错误！，则下列结论正确的是()

A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称

B.函数f(x)在(一8,1)上是增函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=l对称

D.函数/'(x)的图象上至少存在两点46,使得直线心?〃x轴

解析由题知，函数f(x)=f'的图象是由函数y=错误!的图象向右平移1个单位长度

得到的，可得函数/'(x)的图象关于点(1,0)中心对称，A正确；函数/'(X)在(一8,1)

上是减函数，B错误；易知函数f(x)=错误!的图象不关于直线x=l对称，C错误；由函数F

(x)的单调性及函数/1(不)的图象，可知函数/'(x)的图象上不存在两点4氏使得直线16

〃x轴，D错误.故选Ao

答案A

利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系.如：图象的左右范围对应定

义域,上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.

方向2：求参数的取值范围

[例4](2019•南宁市摸底联考)设函数fix)是定义在R上的偶函数，且f(x+

2)=f(2-x),当xe[-2,0]时，f(x)=错误!'-1,若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)

—log“(x+2)=0(a>0且aWl)有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是()

Ao错误！B.(1,4)

C.(1,8)D.(8,+8)

解析因为VxGR,/(x+2)=/(2—x),所以f(x+4)—f(2+(x+2))—f(2—(x

+2))=F(—x)=F(x),所以函数/Xx)是一个周期函数，且7=4。又因为当xe[—2,0]

时，久x)=错误!-1=(错误!)「'-I,所以当xd[0,2]时，/'(x)=f・x)=(错误!)*

-1,于是>£[-2,2]时，f(x)=(错误！),-I,根据『(力的周期性作出f(x)的图象

如图所示。若在区间(一2,6)内关于x的方程f(x)-log“(x+2)=0有且只有4个不同的

根，则a>l且尸f(x)与y=log“(x+2)(a〉1)的图象在区间(一2,6)内有且只有4个不

同的交点，因为/'(—2)=f(2)—f(6)=1,所以对于函数y=log*(x+2)(a)1),当

x=6时，log»8〈1,解得a〉8,即实数a的取值范围是(8,故选D。

答案D

历蹈雅、］

当参数的不等关系不易找出时，可将函数（或方程）等价转化为方便作图的两个函数，再

根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围。

【题点对应练】

1.（方向1）已知函数f（x）=x|3一2x,则下列结论正确的是（）

A.K6是偶函数，单调递增区间是（0,+8）

B.fix）是偶函数，单调递减区间是（一8,1）

C.f（x）是奇函数，单调递减区间是（一1,1）

D.f〈X）是奇函数，单调递增区间是（一8,0）

解析f（x）=错误!画出函数f（x）的图象，观察图象可知，函数/1（x）的图象关于原

点对称，故函数/Xx）为奇函数，且在（一1,1）上单调递减。故选C.

答案C

2.（方向1）函数f（x）是定义在［-4,4］上的偶函数，其在［0,4］上的图象如图所

示，那么不等式错误!〈0的解集为。

解析在错误!上，y=cosx)0,在错误!上，y=cosK0。由/'(x)的图象知，在错误！

上，错误！〈0。因为f(x)为偶函数，y=cosx也是偶函数，所以y=错误!为偶函数，所以

错误!<0的解集为错误！U错误!。

答案错误！U错误！

3.(方向2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x—1,对于任意的xGR,不等式F(x)Ng

(x)恒成立，则实数a的取值范围是。

解析作出函数/Xx)=Ix+a|与g(x)=x-l的图象如图所示，观察图象可知，当且

仅当一aWl,即a》一l时，不等式F(x)2g(x)恒成立，因此a的取值范围是［-1,+

8)。

1.(配合例2使用)函数F(x)=错误!的图象大致是(

AB

解析易知函数/Xx)的定义域为{xlxW±l},f(-x)=错误！=一错误！=—f(x),

所以函数/Xx)为奇函数。当xd(0,1)时，/(x)=错误!〉0,排除D；当xG(1,+8)

时，/'(")=错误!<0,排除A,Co故选B。

答案B

2.(配合例3使用)已知函数/'(")=错误!若a,6,c互不相等，且/■(a)=f(6)=f(c),

则a+6+c的取值范围是()

A.(1,2017)B.(1,2018)

C.[2,201811).(2,2018)

解析设Ha)=f(6)=f(c)=〃，作出函数/'(