1-有限单元法简介课案

有限元法基础

FiniteElementMethod桂林电子科技大学机电工程学院InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEA学习目的及方法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation目的

了解FEM数学力学基础；把握FEM求解具体问题的基本过程；应用FEM，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题；方法

注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础;

运用通用或专用有限元程序进行工程问题分析；2024/8/17有限单元法简介2一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析五、结后语一、数值模拟方法概述

工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析；电磁学中的电磁分析、振动特性分析；热力学中的温度场分析；流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。2024/8/17有限单元法简介4一、数值模拟方法概述

解决这类复杂问题主要有两种方法：1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态，然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解答）2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题的近似解（较多采用）数值模拟技术（即CAE技术，Computer-aidedEngineering）是人们在现代数学、力学理论的基础上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。2024/8/17有限单元法简介5一、数值模拟方法概述

目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：

1、有限单元法FEM（FiniteElementMethod）

2、边界元法BEM（BoundaryElementMethod）

3、有限差分法FDM（FiniteDifferenceMethod）

4、离散单元法DEM（DiscreteElementMethod）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。2024/8/17有限单元法简介6一、数值模拟方法概述

数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件有：ANSYS,ABAQUS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC,ADINA,FLAC等它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和后处理程序。大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方便，功能强大。2024/8/17有限单元法简介7[FEM求解工程问题思路]

工程中的问题本构关系线性的、边界规则的问题数值分析法精确解近似解非线性的、边界不规则的问题解析法图1工程问题的求解思路

FEM犹如万能钥匙，是解决工程问题的主流数值分析方法只能解决极少的方程求解，而且解答复杂。工程问题的求解基本过程InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation二、有限单元法简介2024/8/17有限单元法简介81.有限元法定义

是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。分析指导思想

化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易二、有限单元法简介2024/8/17有限单元法简介92024/8/17有限单元法简介10是在当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。伴随着计算机科学和技术的快速发展，现已成为：计算机辅助设计(CAD)——

Computer

Aided

Design计算机辅助制造(CAM)——

Computer

Aided

Manufacture的重要组成部分.有限单元法(或称有限元法，FEM)——

Finite

Element

Method2.发展简史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用二、有限单元法简介2024/8/17有限单元法简介113.发展方向新型单元的研究有限元的数学理论向新领域扩展应用大型通用程序的编制和设计

ANSYS,NASTRAN,ABAQUS开发微机用版本设计自动化及优化设计（CAD,CAE,CAM）二、有限单元法简介2024/8/17有限单元法简介124.有限元法的分类

以方程中未知数代表的意义分类

有限元位移法：未知数为位移有限元力法：未知数为力有限元混合法：未知数为力和位移

以推导方法分类

直接法变分法加权余数法二、有限单元法简介2024/8/17有限单元法简介13有限单元法的常用术语：二、有限单元法简介真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义2024/8/17有限单元法简介14节点和单元节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷2024/8/17有限单元法简介15自由度（DOFs－degreeoffreedoms）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs

结构 位移热

温度电 电位流体压力磁 磁位

物理场 自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ2024/8/17有限单元法简介16节点和单元节点自由度是随连接该节点

单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ2024/8/17有限单元法简介17二、有限单元法简介有限单元法的基本思想：1、将一个连续域离散化为有限个单元，并通过有限个节点相连接的等效集合体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。2、有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。2024/8/17有限单元法简介18三、有限单元法分析步骤有限元法分析问题的基本步骤：1、结构的离散化

离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定

选取坐标（右手法则）选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节点进行编号2024/8/17有限单元法简介19三、有限单元法分析步骤2、选择位移插值函数

为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。

{f}—单元内任意点的位移列矩阵

[N]—单元形函数矩阵

—单元节点位移的列矩阵2024/8/17有限单元法简介20三、有限单元法分析步骤3、分析单元的力学特性

利用几何方程、本构方程和变分原理得到单元的刚度矩阵和载荷矩阵

{R}e=[K]e

{δ}e{R}e

—单元节点力

[K]e

—单元刚度矩阵2024/8/17有限单元法简介21三、有限单元法分析步骤4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程

先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵[K]，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵[K]=Σ[K]e

5、由平衡方程求解未知节点位移{δ}

按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求解。2024/8/17有限单元法简介22三、有限单元法分析步骤6、单元应变和应力的计算

根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插值函数算出单元的应变和应力。2024/8/17有限单元法简介232024/8/17有限单元法简介24

有限元法的要点在工程或物理问题的数学模型:基本变量;基本方程;求解域和边界条件等确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法的要点可归纳如下：2024/8/17有限单元法简介25(1)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过它们边界上的节点相互联结成为组合体。下图表示将一个二维多连通求解域离散为若干个单元的组合体。图(a)和(b)分别表示采用四边形和三角形单元离散的图形。各个单元通过它们的角节点相互联结。(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式通常表示为矩阵形式)。由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。

转换为求解原来待求场函数的无穷多自由度问题求解场函数节点值的有限自由度问题(3)通过和原问题数学模型(基本方程、边界条件)等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的节点值)的代数方程组或常微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。四、

有限元法分类

线弹性有限元法非线性有限元法线弹性有限元一般包括:

线弹性静力分析线弹性动力分析学习这些内容问题需具备：材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元法研究对象:理想弹性体分析基础:小变形假设材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律应变与位移也是线性关系线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，只需较少的计算时间。

非线性有限元问题与线弹性有限元问题有很大不同，主要表现在如下三个方面：

(1)非线性问题的方程是非线性的，因此一般需要迭代求解；

(2)非线性问题不能采用叠加原理；

(3)非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。非线性有限元法以结构上弹性力学为例：1.材料非线性问题材料的应力与应变是非线性关系；但应变与位移却很微小，此时应变与位移呈线性关系；材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总是有它们的局限在工程实际中较为重要的材料非线性性。问题有：非线性弹性(包括分段线弹性)；弹塑性；粘塑性及蠕变等。有限元法非线性问题可以分为如下三类：当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系，这意味着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系。这类问题包括：大位移大应变问题

如：橡胶部件成形过程大位移小应变问题

如：如结构的弹性屈曲问题

2．几何非线性问题

在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到一些接触问题，如：齿轮传动；冲压成型；轧制成型；橡胶减振器；紧配合装配等当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。3．非线性边界(边界条件)五、利用有限元软件进行工程分析

所有的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理三个有逻辑顺序的模块。在进行实际工程分析时，也该按照以上三个模块来进行。进入求解器进行求解（设定分析步骤，输出变量）前处理（建模、材料特性、单元选择及网格划分）进入后处理（变形图、等值线图，列表显示等等后处理）2024/8/17有限单元法简介34四、利用有限元软件进行工程分析利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应按下列步骤进行：（一）、制订分析方案需考虑以下几个方面：important2024/8/17有限单元法简介351、分析领域

几何体

载荷

物理系统结构热电磁2024/8/17有限单元法简介362、分析目标力？位移？温度？还是其他？2024/8/17有限单元法简介373、线性/非线性分析“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线性特性？”许多情况和物理现象都要求进行非线性计算。(a)订书钉t0t1t2t3Fu

(b)木制书架b1b2

(c)气动带FuFu2024/8/17有限单元法简介384、静力/动力分析静力求解能否满足你的分析要求？如果不能，应当进行哪种动力分析？动力分析的所有载荷都是随时间变化的，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。一般情况下，激励频率低于结构最小固有频率的1/3时静力求解就足够了。惯性力是动力问题不同于静力问题的关键之处。2024/8/17有限单元法简介395、分析细节的考虑在建立分析模型之前必须制订好建模方案：必须考虑哪些细节问题？对称/反对称/轴对称？模型中存在应力奇异？选用那种类型的单元？线单元壳单元X－Y平面单元平面应力或应变单元轴对称单元谐单元实体单元专用单元线性单元/高阶单元/P单元四边形单元/三角形单元，块单元/四面体单元2024/8/17有限单元法简介406、充分利用结构的对称性PPPPP2024/8/17有限单元法简介417、网格密度相邻单元的尺寸尽可能接近应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度结点所连接的单元个数尽可能一致宜不宜2024/8/17有限单元法简介428、单位制注意：ANSYS和ABAQUS大型有限元软件中，没有固定的单位制，大家在使用的过程中，可以自己选用前后一致的一套单位制，则最后所得结果的单位即为即为所选单位制对应的单位。建议：尽量采用国际单位制2024/8/17有限单元法简介439、材料特性材料特性是有限元分析必须提供的数据，其准确与否直接影响到计算的精度；必要的时候需通过试验提供；一个复杂分析中可能包含很多种性质截然不同的材料，建模的时候应以足够的关键字以识别；很多有限元软件中，都提供