2.2.2双曲线的几何性质

双曲线的性质(一)定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a(2a<2c)|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）若没有绝对值，轨迹，只表示双曲线的一支复习：先定位再定量既不充分也不必要

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.4、渐近线xyoab利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响(3)双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢?如何记忆双曲线的渐近线方程？5、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大c>a>0e>1（4）等轴双曲线的离心率e=?5、离心率（e反映了双曲线开口大小）e反映了双曲线开口大小e越大双曲线开口越大e越小双曲线开口越小xyo（3）离心率范围：（2）离心率的几何意义：e>1ab

关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)顶点例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3焦点坐标为（0，-5）、（0，5）解：把方程化为标准方程例2:(1)：(3)的渐近线方程为：

的渐近线方程为：

的实轴长

虚轴长为

___

顶点坐标为

,焦点坐标为

离心率为(2)的实轴长

虚轴长

顶点坐标为

焦点坐标为离心率为

的渐近线方程为：

的渐近线方程为：

444(0,±2)快速反应1、“共渐近线”的双曲线的应用λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。为什么可以这样设?练习巩固：《优化方案》P32例2、跟踪训练2关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)顶点直线与双曲线的位置关系双曲线的几何性质(二)关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)顶点1．双曲线

y220－

x216＝－1的实轴长为________，虚轴长为______________，焦点坐标为______________，顶点坐标为______________，离心率e＝______，渐近线方程为_________．

8(－6,0)，(6,0)(－4,0)，(4,0)1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．教学目标椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）相离相切相交复习导入位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点图象法:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.温馨提示：把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离2.代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图（2次系数等于0）

（2次系数不等于0）（两个交点）

（一个交点）

（无交点）

(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,

Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）

Δ=0直线与双曲线相切

Δ<0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0直线与双曲线的位置关系:①相交两点:△＞0

同侧：＞0

异侧:＜0

一点:直线与渐进线平行例1：已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；(4)-1＜k＜1；(1)k＜

或k＞；(2)＜k＜；例2、过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。《优化方案》P33例3点评求直线与双曲线相交弦的长，主要是弦长公式的应用．与弦中点有关的问题主要用点差法．根与系数关系解决，另外要注意灵活转化，如垂直，相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．例3.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条

弦AB，求直线AB的方程。解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线

截得的弦的中点不是P点。（2）