上海高考数学模拟专题函数

8.（08年上海市部分重点中学高三联考22）（4+7+7）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.8.[解]：（1）当时，因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。……………4分（没有判断过程，扣2分）（2）由题意知，在上恒成立。………5分，∴在上恒成立………6分∴………7分设，，，由得t≥1，设，所以在上递减，在上递增，………9分（单调性不证，不扣分）在上的最大值为，在上的最小值为所以实数的取值范围为。…………………11分（3），∵m>0，∴在上递减，………12分∴即………13分①当，即时，，………14分此时，………16分②当，即时，，此时，---------17分综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是………189.（2009年上海市普通高等学校春季招生考试20）(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.设函数，其中为正整数.（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（2）证明：；（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.9.[解]（1）在上均为单调递增的函数.……2分对于函数，设，则，，函数在上单调递增.……4分（2）原式左边.……6分又原式右边..……8分（3）当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，，函数的最大、最小值均为1.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.当时，函数在上单调递减，的最大值为，最小值为.……11分下面讨论正整数的情形：当为奇数时，对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.……14分当为偶数时，一方面有.另一方面，由于对任意正整数，有，.函数的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.当为偶数时，函数的最大值为，最小值为.……18分1（嘉定区2008～2009第一次质量调研第20题）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数（为实常数）．（1）若，作函数的图像；（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．答案：解：（1）当时，．作图（如右所示）……（4分）（2）当时，．若，则在区间上是减函数，．……（5分）若，则，图像的对称轴是直线．当时，在区间上是减函数，．……（6分）当，即时，在区间上是增函数，．……（7分）当，即时，，……（8分）105-2321yxO-1105-2321yxO-1-31．……（9分）综上可得．……（10分）（3）当时，，在区间上任取，，且，则．……（12分）因为在区间上是增函数，所以，因为，，所以，即，当时，上面的不等式变为，即时结论成立．……（13分）当时，，由得，，解得，…（14分）当时，，由得，，解得，（15分）所以，实数的取值范围为．……（16分）2（上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第21题）（本题满分18分）第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分，第4小题6分.在统计学中，我们学习过方差的概念，其计算公式为，并且知道，其中为的平均值.类似地，现定义“绝对差”的概念如下：设有个实数，称函数为此个实数的绝对差.(1)设有函数，试问当为何值时，函数取到最小值，并求最小值；(2)设有函数，试问：当为何值时，函数取到最小值，并求最小值；(3)若对各项绝对值前的系数进行变化，试求函数的最值；(4)受(3)的启发，试对(2)作一个推广，给出“加权绝对差”的定义，并讨论该函数的最值(写出结果即可).答案：解:(1),由单调性可知(或由图像可知)当x=1时，函数取得最小值，(2)若n为奇数，则当时，有，若n为偶数，则当时，有(3)由(4)设为实数，定义函数为个实数的加权绝对值；以下求该函数的最值：当时，当时，当时，3(上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研第17题)（本题满分15分）第1小题满分4分，第2小题满分11分设函数为实数).(1)若为偶函数，求实数的值；(2)设，求函数的最小值.答案：解：(1)由已知；(2)，当时，，由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；由，知的最小值为.4（闸北区09届高三数学（理）第16题）（本小题满分17分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．答案：解：（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：且……………4分……4分（Ⅱ），，，为增函数，时，生产A产品有最大利润为（万美元）………3分又时，生产B产品有最大利润为460（万美元）3分现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：…………2分所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．………………1分5（上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第19题）（本题满分14分）(理)根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率=).已知每生产一件正品可赢利千元，而生产一件废品则亏损千元.该车间的日利润按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算.(1)将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？答案：解：(1)；(2)令则，因为，当且仅当即时取等号.而，所以当时，有最小值11，从而T有最大值4，此时，即车间的生产量定为4件(或5件)时，该车间可获得最大利润4千元.6（上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第19题）(文)沪杭高速公路全长千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于千米/时且不高于千米/时的时速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度(千米/时)的平方成正比，比例系数为；固定部分为元.(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？(结果保留整数)答案：解：(1)(2)当且仅当即时取等号，所以，当汽车以105km/h的速度行驶时，全程的运输成本最小，约为696元.7（上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研第2题）（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知,函数.(1)当时，求所有使成立的的值；(2)当时，求函数在闭区间上的最小值；(3)试讨论函数的图像与直线的交点个数.答案：(1)所以或;(2),1O.当时，，这时，对称轴，所以函数在区间上递增，；2O.当时，时函数；3O.当时，，这时，对称轴，所以函数；(3)因为所以，所以在上递增；在递增，在上递减.因为，所以当时，函数的图像与直线有2个交点；又当且仅当时，等号成立.所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点.8（静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第18题)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．记．若函数，（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）求的解集.答案：（1）=3分解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．4分所以．1分（2）等价于：①或②．3分解得：，即的解集为．3分9（静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第21题)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分．(理)设函数．（1）若函数为偶函数并且图像关于直线对称，求证：函数为周期函数．（2）若函数为奇函数并且图像关于直线对称，求证：函数是以为周期的函数．（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明．（第（3）题在写出一个真命题、并予以证明中，满分应分别得5分）答案：（理）（1）由图像关于对称得，即，2分因为为偶函数，所以，从而，所以是以为周期的函数．2分（2）若为奇函数，则图像关于原点对称，，2分由条件得，所以，是以为周期的函数．2分（3）（本小题评分说明：下面解答给出的是满分结论，如果是关于点或直线的部分推广，应视解答程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则。但是没有把握推广的内涵，以至于没有给出推广意义下的真命题，或写出的命题不是真命题。这类答卷在写出一个真命题、并予以证明中，应得0分。）推广：若函数图像关于点对称且关于直线对称，则函数是以为周期的周期函数．5分由条件图像关于点对称，故，又图像关于直线对称，，所以，即．2分当时，为常值函数，是周期函数．当时，由得，因此，所以是以为周期的函数．3分10（静安区部分中学08－09学年度第一学期期中数学卷第21题)（文）设（为实常数）．当时，证明：不是奇函数；设是奇函数，求与的值；当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集，对任何属于的、c，都有成立？若存在试找出所有这样的；若不存在，请说明理由．答案：（文）（1）举出反例即可．，，，所以，不是奇函数；4分（2）是奇函数时，，即对定义域内任意实数成立．1分化简整理得，这是关于的恒等式，所以所以或．经检验都符合题意．3分（3）（本小题评分说明：这里给出的是满分结论，对于写出部分解答的考生，应视答题正确程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则）当时，，因为，所以，，从而；2分而对任何实数成立；所以可取=对任何、c属于，都有成立．3分当时，，所以当时，；当时，；2分1）因此取，对任何、c属于，都有成立．1分2）当时，，解不等式得：．所以取，对任何属于的、c，都有成立．2分11（闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第20题）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分．已知向量，，，是实数．（1）若存在唯一实数，使与平行，试求的值；（2）若函数是偶函数,试求函数在区间上的值域；（3）若函数在区间上是增函数，试讨论方程解的个数，说明理由.答案：(1)，，，，∴,又与平行，∴，即，（2分）由题意知方程有两个相等的实根，∴，∴．（4分）(2)是偶函数，∴，∴，（2分）∴在上的值域是．（4分）(3)函数在区间上是增函数，∴，∴，（3分）方程即，可化为，记，显然，函数与有相同的单调性，即函数在上也是增函数，（4分）又函数在上是减函数，∴当，即时，原方程无解；（6分）当，即时，原方程有且仅有一个解．（8分）12（闵行区2008学年第一学期高三质量监控理卷第21题）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．第3小题根据不同思维层次予以不同评分．对于函数，定义：若存在非零常数、，使函数对定义域内的任意实数，都满足，则称函数是准周期函数，常数称为函数的一个准周期．如：函数是以为一个准周期且的准周期函数．(1)试判断是否是函数的准周期，说明理由；(2)证明函数是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的的值；(3)请你给出一个准周期函数（不同于题设和(2)中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像答案：(1)，∴，∴不是函数的准周期．（3分）(2)，∴（非零常数），（3分）∴函数是准周期函数，是它的一个准周期，相应的．（5分）(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数，如，等得1分，，，，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得3分②指出所写出函数的一个准周期，得2分③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、，(写出一条得1分，两条以上得2分，可以不证明)④画