第二部分 考前备考方略的系统指导数学

一、考前做什么

考前一个月，应开启高考模式，调至临战状态。此时的您，不应再沉溺在书

山题海，不应再熬夜苦练，应静下来梳理一下所学知识，系统一下方法思路。

要清楚：高考不仅仅是能力的比拼，到了考场，更多的是技巧和速度的较量。

这是因为：解题速度上不去，徒有能力空叹息；考场状态调不好，发挥失常

留遗憾。

系二、考前怎么做

备考技法考前练手保热度

解题常用8术系统归纳

统专题一解题快人一步

指备考技法提升思想保高度

4大数学思想系统归纳

专题二思维高人一截

导

备考技法串通知识保准度

9大知识板块系统归纳

专题三信心胜人一筹

教学建议：阅读感悟，自查提升

［专题一］ZHUANT1YI

解题常用8术系统归纳

备考技法考前练手，保热度

第1术探求思路，图作向导

对题设条件不够明显的数学问题求解时，应注重考虑相关的图形，巧用图形作向导

是从直观入手领会题意的关键所在.尤其是对一些复合函数、三角函数、不等式等

方法形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的

概述辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解.力争做到有图用图，无图想

图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的

途径.这就是我们常说的图解法

应用

选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及最值、不等式、取值范围等问题

题型

应用(一)求解函数问题

［例1］(1)已知函数y=£，的图象与函数》=丘的图象恰有两个交点，则实数A的取

值范围是

(2)函数/x)=sin%,对于xiVx2V…Vx〃，且小,必，…，口可。，8兀］(〃210),记M

=IAXI)-AM)I+I/U2)-AX3)I+…+I/U“T)-/U”)I，则M的最大值为

5"*|x2—1|x+1,X>1或XV—1,

［解析I(1)J=­j-

-x—1,—iWxvl,

作出其图象如图所示，结合图象可知04Vl或lvk2.

(2)函数Ax)=sinx(0WxW8n)的图象如图所示,

TT］

根据正弦函数的图象及性质与，x2,…，x„G［0,8n］(/i^l0),在［0,8有4个周期,

要使M的最大值，则巩孙)一/(X2)l+l/U2)—AX3)l+a3)-/U4)l^-----a〃)|最大.则

Xt,X2,•,,,X"都是顶点的横坐标，故Mmax=4X4=16.

[答案](1)(0,1)U(1,2)(2)16

应用(二)求解不等式问题

x+2,xWO,,

[例2]已知y(x)=「八则不等式大用》/的解集为()

.一x+2,x>0,

A.[-1,1]B.[-2,2]

C.[-2,1]D.[-l,2]

x+2,xWO,,

[解析]分别作出大x)=c和的图象如图所示.

—x+2,x>0

由图可知，八的解集为［-1,1］.

［答案］A

应用(三)求解平面向量问题

［例3］在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2,点尸是△A5C所在平面上的任意一

点，则启•铝+君•武■的最小值为()

A.1B.2

C.-2D.-1

［解析］法一：(坐标法)以点O为坐标原点，D4所在直线为y轴，建立如图所示的平面

直角坐标系，则0(0,0),4(0,2).

设点尸的坐标为(x,j),则铉=(一x,2-y),~PD=［-x,-j),

故启•PB+~PAPC=~PA(PB+~PC)=2PA-PD=2(X2+/-2J),

2(x2+y2-2y)=2［x2+(y-l)2］~2^-2,当且仅当x=0,y=l时等号成立.

所以右•铝+启•超的最小值为-2.故选C.

法二：(几何法)取AZ)的中点M,则右=下荷+忘=R防一;二彷，

~PD^PMYMD=^PM+|AD.

所以启+窃=启•(隹+7?)=-^・2万=2后・同=

222

~PM+^~AD)=2好^—；AD^=2^7A/—1x2^=2PM-2.

显然，当尸，M重合时，下筋2取得最小值0,此时右.府+前.还取得最小值一2.

故选c.

［答案］c

应用（四）求解解析几何问题

［例4］已知圆x2+j2+x—6j+/n=0与直线x+2y—3=0交于P,Q两点，且OP-OQ=

0（0为坐标原点）.求实数m的值及该圆的圆心坐标及半径.

［解］圆的方程化为（x+；f+U-3y=乎一机，

圆心C的坐标为（一号，3）.

如图，取尸2的中点连接CM,OM,则CM_LPQ.

所以直线CM的方程为2x-y+4=0.

2x-j+4=0,

解方程组，,得点M（—1,2）,

x+2j—3=0,

故|CM|=坐.

因为苏•磁=0,所以OPJ_O。，

所以|MQ|=|MO|=下.

537

由|MQ『十|CM|2=|QC『，得5+『彳一%

解得,〃=3.故半径r=］.

［应用体验］

1.函数兀0=0）-10g2》的零点个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B令八*）=0,则（，一log2X=。，即Q）=log2X,分别作出y=G）与y=log2X

的图象如图所示.由图可知两函数图象的交点只有1个，即Ax）的零点个数为1.故选B.

在平面上，遍遍，|前|=|混若|万？舄，则历？|的

2.JL|=1,~AP=ABXVAB2,

取值范围是（）

A.（。,鸣B.修多

C.住,同D.停封

解析：选D根据冠_L福，

~AP=ABx+ABlf可知四边形481P4是一个矩形.

以A为坐标原点，A£?i,A%所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设H*|=a,\AB2\=b.

点。的坐标为(x,y),点PQ,b).

•••|而|=|就|=1,

.[(X—a)2+y2=l,

",x2+(y—b)2=1,

(x—a)2=l—y2,

变形为

(y—b)2=l~x2.

•.•而舄,

.\(x—a)2+(y—b)2<^,

Al—x2+l—j2<1,

.,.¥+丁>：.①

V(x-a)2+j2=l,：.y2^l.

同理，x2^l.

：.x2+y2^2.®

7

由①②可知：^<X2+J2^2.

'：\0A\=yjx2+y2,...乎<|ZX|Wg.故选D.

222

3.过双曲线，一*=l(a>0,b>0)的左焦点尸(一c,0)(00),作圆了2+丁=。的切线，切

点为E,延长尸E交双曲线右支于点P,若笳=提苏+/),则双曲线的离心率为()

A邛B坐

C.yflOD.^2

解析：选A由题意可知E为尸P的中点，且0EJ_kP.记尸为双曲线的右焦点，作出示

意图如图，连接F'P,则FT缺20E,所以FPLF'P,且|尸，P|=a,故由双曲线的定义可得|FP|

=3。.

所以(2C)2=/+(3/2,所以e=：=Vio

2•

4.已知a>0,Z»0,则不等式心^一^的解是()

A(TI)

CO0)U(?+8)

D・(—8,4)U(?+8)

解析：选D法一：直接求解法.

r

；+Z»0,l±bx

x>"{x(ftx+1)>0,x>0或xv-

一49b'i

4/、-X『或

I—axx\\-ax)<0

~~a<0--------<0

x>!.故选D.

法二：数形结合法.利用的图象，如图所示.故选D.

5.函数f(x)=2+®尸(—2VxW2)的值域为

|x|一X'2-x,-2<x^0,

解析:因为人幻=2+下一(一2VxW2),所以/(x)=k0VK2.函数4X)的图象

如图所示，由图象得，函数八用的值域为［2,4).

答案：［2,4)

第2术解题常招，设参换元

在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元

用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原

来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准

方法概述

型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从

中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新

对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我

们常说的换元法

此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函

应用题型

数、三角、解析几何中广泛应用

方法（一）三角换元

［例1］已知心y£R,满足产+2盯+4p=6,则2=/+492的取值范围为

［解析］法一：由？+加+4y2=6,

得2孙=6—（/+472）,

工）〈产+旷

而2盯W：2f

y24-4v2

所以6-(f+4y2)W―产，

所以*2+4步24,当且仅当x=2y时，取等号.

又因为(x+2y)2=6+2xy\0,即2xy2一6,

所以z=f+4y2=6-2孙W12,

综上可得4^X2+4/^12.

法二：已知/+2到+4y2=6,

即(*+7尸+(币y)2=(#了，

故设x+y=,cosa,y[3y=y[6sma,

即x=,cosa--\/2sina,j=^/2sina.

则Z=X2+4J2=6—2xy=6-2(-^6cosa—6sina)*^/2sina=8—4sin(2a

所以8-4WzW8+4,

即z的取值范围为［4,12］.

［答案］［4,12］

方法（二）整体换元

［例2］已知椭圆C的方程为1+丁=1,且直线/：y=Ax+机与圆。：一十丁=1相切,

若直线，与椭圆C交于M,N两点，求△OMN面积的最大值.

［解］圆O的圆心为坐标原点，半径r=l,由直线/:7=履+加，即4’—y+〃z=O与圆

。：？+）2=1相切，得,；：女2=1,故有毋=1+公•①

由

ly=kx-^-m9

消去y得(442+1)/+84/内+4毋-4=0.

设坏修，Ji),MM,九)，

n..8左/-4/n—4

则修+必=—充百，修必=4&2+］・

2

所以kl一工2/=(XI+x2)-4X1X2

(SkmY4/〃2—416(4后一毋+i)

=c4*2+lJ-4X4p+T=(4l+D2•.②

将①代入②，得仅]一必『=(4d+])2,

独।।4网|

故出一与1一加2+「

所以IMN尸师'一处尸环.黜=4**邙

„A1273k2(必+1)

故aOMN的面积S=^\MN\X1=-^--^2+1—

令，=4好+1«、1),则好=丁，代入上式,

312134

--+-+-

2?+■3=一29

3/-U

所以当f=3,即4层+1=3,解得左=±乎时，S取得最大值，且最大值为|*\^|=1.

［应用体验］

*2V2

1.椭圆彳+、=1的左焦点为「，直线x=m与椭圆相交于点A,B,当△H1B的周长最

大时，/XMIB的面积为.

*x2V2

解析：已知彳+?=1,则F(—1,0).

设A(2cos0,小sin0),B(2cos0,—\/3sin6),

则|4户|=|5尸|=yj(2cos0+1)2+3sin20=2+cos0,

故△E48的周长/=2(2+cos6)+2巾sin9=4+4sin(9+弓)

当，=1•时，/取得最大值，此时△E48的面积为

5=^(1+2cos0)-2,\/3sin6=,\/3sin9,(l+2cos0)=3.

答案：3

2.不等式log2(2*-l)・log2(2"i-2)<2的解集是.

x1x+1x

解析：log2(2—l)=v,J?]Iog2(2-2)=1+log2(2-1)=v+1,故原不等式可化为

+1）<2,解得一2<y<l.所以一2<log2（2*-l）<l,

解得10g22<Iog23,即*w(k)g2*lOg23).

答案：(10g2宁，10g23)

3.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.

解析：设sinx+cosx=f£[—也，也],则sinxc「sx="加----1=^-所

以尸%LT=*+l/—l，当f=也时，Jmax=1+V2.

答案：1+A/2

2

4.若过定点N(0,2)的直线，交椭圆方+丁=1于不同的两点A,B,则以用的最大值为

解析：当直线/的斜率不存在时，A(0,1),8(0,—1)或A(0,-1),8(0,1),此时|A8|

当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y=«x+2,

(y=kx+2,

由《J2消去7得，(1+稣2)¥+36履+27=0,

%+y=1

由/=(36炉一io8(i+9A2)>()得“2

设A（%i,ji）,B（X29力），可得

.36427

X1+X2=~T+9P,*1必=]+稣2'

|AB|=^/1+P|xi—x2|

=•正番尚

_6小、(1+如)(3如一1T

=1+9升，

令1+94=£,则04,

65'（1+标）UOf

尸1+9后--------

2^J-32-Q)+4-1+1,1G(0,I),当:=点，即％=士华时，有|A5|max=¥・

综上，|A3的最大值为芈.

答案：乎

第3术出奇制胜，巧妙构造

构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，

构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构

造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题

方法概述

的方法.构造法应用的技巧是“定目标构造”，需从已知条件入手，紧扣要解

决的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题.解题时常构造函数、构造方程、

构造几何图形等

应用题型适用于各类题型，多涉及函数、方程、几何图形等知识

方法(一)构造函数

［例1］(1)已知山，"W(2,e),且方一!<1常，则()

A.m>nB.m<n

C.，">2+：D.m,n的大小关系不确定

(2)已知定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数为/(x),满足八且y=/U+l)

为偶函数，式2)=1,则不等式兀0</的解集为.

［解析］(1)由不等式可得点一'idn-In",

即‘l+ln”」i+lnm.

nm

设/U)=3+lnx(xe(2,e)),

则r(x)=

因为xG(2,e),所以/(x)>0,

故函数八X)在(2,e)上单调递增.

因为所以〃，故选A.

f(x)ff(x)—f(x)

(2)令Mx)=一£~,则〃'(x)='---------不」------<0,，Mx)在R上是减函数，又7=人］

f(x)

+1)是偶函数，.力可制的图象关于直线x=l对称，・\/(2)=/(0)=1,由/(x)Ve*得—<

1,又M0)='字-=1,A/i(x)<Zi(0),.\^>0,故原不等式的解集为(0,+°°).

［答案］(1)A(2)(0,+~)

方法(二)构造方程

［例2］已知“2—3。=1,方2—3万=1,且则｝+/=.

［解析］由题意可知凡〜是方程步一3尤一1=0的两个实数根，由根与系数的关系可知〃

+〃=3,ab=­l,

..1.1a2+b2（。+方）2—2。》，

所以滔+讲=72后-=7P=3-2X（-1）=11.

［答案］11

方法（三）构造几何图形

［例3］已知wi,"是空间中两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，现有以下命题:

①。,〃U8,机_1_〃0a_L£；②tn〃ft,n//8,mUa,“Ua=^a//£；③m

nA.a,»rJ_a_L£；®mCa,m//n^n//a.

其中真命题的个数是（）

A.0B.l

C.2D.3

［解析］法一：（分析法）对于①，若mUa,nUB,m±n,则两平面可能是平行的，所

以①为假命题；

对于②，若，"〃”，“〃£,/nca,/ica,只有当，“与“相交时，才能推出a〃4所

以②为假命题；

对于③，因为，mJ-n,所以"U£或"〃"，

又"JLa,所以a_L/,所以③为真命题；

对于④，若Ma,则结论正确，若”ua,则结论不正确，所以④为假命题.

综上可知，真命题的个数只有一个.故选B.

法二：（构造法）如图，几何体ABCO-Ai&GOi为长方体.

对于①，AiBi±BC,且AiBiU平面AliGOi,BCU平面A8CD,而平面ABCZ）〃平面

AiBtCtDi,所以①为假命题；

对于②，A/i〃平面A3CD,分别取棱441,的中点E,F,连接EF,显然E尸〃

平面A8C。，而A/iU平面A58141,E尸U平面ABaAi,而平面A5B|AiD平面ABC£>=

AB,故②为假命题；

对于④，AB//CD,A5U平面ABC。，但CZJU平面A5C。，所以④为假命题.

对于③，因为mJ_Q,m±n,所以"U£或"〃”，

又“，a,所以a_LG，所以③为真命题.

综上可知，真命题的个数只有一个.故选B.

［答案］B

［应用体验］

1.已知函数八幻是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有灯（x

+D=(I+XIAX),则/&e))的值是()

A.0B.1

C.1D.|

解析：选A由已知得出拌-=心4，

故构造函数g(x)」(；),则g(x+1)=',

所以g(x+l)=g(x),即g(x)是周期为1的函数.

又八X)为偶函数，所以g(x)为奇函数.

故再构造一个特例函数g(x)=sin2nx(xWR),

所以｛x)=xsin2nx,从而有f^^=|sin5n=0,

故/&⑨)=用)=()•故选A.

2.已知数列｛%｝,a„=2a„-｝+n+l,a,=l(/ieZ*),则斯=.

解析：由已知可得a„+n+3=2[a„-1+(n—1)+3].

设瓦=。“+〃+3,则b„=2b„-i,

所以｛瓦,｝是公比为2的等比数列，且瓦=©+1+3=5,

所以b„=5X2"~l,所以%=5义2"-1一〃一3.

答案：5X2"-'-zi-3

3.函数3*)=5：2—=+13+5:2T0x+26的值域为.

解析：(x—2)2+(0—3)2+-\j(x—5)2+[0—(—1)]2,

其几何意义是平面内动点尸(x,())到两定点M(2,3)和N(5,—1)的距离之和(如图所示)，

求其值域只要求其最值即可.

易知当M,N,P三点共线(即P在线段MN上)时，/U)取得最小值，且大x)mm=|MN|

=5,_/u)无最大值，故得函数的值域为[5,+°°).

答案：[5,+8)

4.函数》二41气的最大值和最小值分别为________，__________.

cosx-3

解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cosx,sinx)与定点。(3,0)连线的斜

率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P(cosx,sinx)与定点Q(3,0)连线的斜率问题.

如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最

小，设切点分别为K,

易知k°R=2巾,,koM=-2巾,

能力i__勺2K_正

以k°R—4,k°M—49

所以一乎WAp°W乎.

即7=总号的最大值为手，最小值为一?.

经安出亚

答案：44

第4术声东击西，换位推理

对有些问题在直接求解时会感到困难或根本难以从条件入手，这时可避开正面

强攻，从结论的对立面入手，或考查与其相关的另一问题，或反例中也可找到

方法概述

解决问题的途径，有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西，换位推

理”的战术

应用题型既有选择、填空题，也有解答题.主要体现为补集法、相关点法及反证法等

方法(一)补集法

［例1］若函数八*)=蛆争--111(*+1)不存在零点，则实数k的取值范围是.

kx>0,

［解析］由题意可知,解得—1且xWO,

x+l>0,

］n(kxy

当一:-=ln(x+l)时，可得ln(Ax)=21n(x+l)=ln(x+l)2,可得kx=(x+l)2^k=

-~~=x+^+2(x>—l,x#=0),由于x+］v—2或x+［22=x+1+2V0或x+1+224,

InCkx')i

要使函数/U)=-----—ln(x+l)不存在零点，k的取值范围应取函数g(x)=x+~+2

的值域的补集，

即{川0WAV4},当Ar=O时，函数无意义，故肚的取值范围为(0,4).

［答案］(0,4)

方法(二)相关点法

［例2］已知尸(4,0)是圆产+/=36内的一点，A,8是圆上两动点，且满足NAP6=

90°,求矩形A尸5Q顶点。的轨迹方程.

|解1连接AS,PQ,设A8与尸。交于点M,如图所示.

因为四边形AP8Q为矩形，所以M为A8,PQ的中点，连接OM.

由垂径定理可知OMLAB,

设M(XM,y,M),

由此可得|AM|2=|Q4|2一|OM|2=36—（或+肩）.①

又在RtAAPB中，

有\AM\=1PM="GM-4)2+用.②

由①②得留+用一4*”-10=0,

故点M的轨迹是圆.

因为点M是PQ的中点，设。(x,j),

x+4y

则XM=~^~,加=2，

代入点M的轨迹方程中得

然J+O存-吁。,

整理得X2+J2=56,即为所求点。的轨迹方程.

［应用体验］

1.某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从高一，高二，高三三个年级中分

别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级

来自不同年级的概率为.

解析：记高一年级中抽取的1个班级为明高二年级中抽取的2个班级为仇，b2,高三

年级中抽取的3个班级为Q,c2,c3.

从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(明加)，(％b2),(a,ci),

)Q

(a,c2),(a,c3),(bi,bi),(瓦，c)(瓦,c2),(仇，c3),(b2,Q,(b2,c2),(b2,c3),(,

C2),(C1,C3),(C2,C3),共15种一

设“抽取的两个班级来自不同年级”为事件4,则事件4为抽取的两个班级来自同一年

级.

两个班级来自同一年级的结果为(仇，电)，(Cl,C2),(C1,C3),(C2,C3),共4种.

4411

所以P(A)=运，故尸(A)=l—P(A)=1—运=运.

所以两个班级来自不同年级的概率为

答案：H

2.已知函数八x)=a*2—x+mx在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为.

解析：f(x)=2ax-l+^.

⑴若函数Hx)在区间(1,2)上单调递增，则/(工)20在(1,2)上恒成立，所以2招一

得心舞T)•①

令因为xG(l,2),所以1).

设Mf)=g(f—/)=一,一5+/,feg1),显然函数》=九0)在区间Q,1)上单调递减,

©,即0<ft(Z)<1.

所以h(l)<h(t)<h

由①可知,

O

(2)若函数ZU)在区间(1,2)上单调递减，则/(x)WO在(1,2)上恒成立，所以2ar-l+[w

得后患~3•②

结合(1)可知，aWO.

综上，若函数以x)在区间(1,2)上单调，则实数a的取值范围为(-8,0]U1,+8)

所以若函数人x)在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为(0,£).

答案:(。，I)

第5术确定关系，待定系数

待定系数法是确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件

来确定这些未知系数的一种方法.其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多

项式八x)三g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有/(a)三g(a);或者两

个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确

方法概述

列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通

过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否可用待定

系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如

果具有，就可以用待定系数法求解

既有选择、填空题，也有解答题.分解因式、拆分分式、数列通项或求和、求

应用题型函数式、求解析几何中曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所

以都可以用待定系数法求解

应用(一)求函数解析式

[例1]某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃,水温

y(：C)与时间f(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，热饮温度

y（，C）与时间f（min）近似满足的函数关系式为y=80X©产+。3,b为常数），通常这种热饮

在40°C时，口感最佳.某天室温为20C时，冲泡热饮的部分数据如图所示.那么按上述

流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（)

A.35minB.30min

C.25minD.20min

［解析］由题图知，当0W/W5时，函数图象是一条线段，当时，函数图象是一条

曲线，故当时，函数的解析式为〉=80乂0而+儿将信，nW）和（15,60）代入解析式，

［00=80X&'1r+瓦

a=5,

有<得

6=20.

60=80XM10+b,

解得f=25,所以最少需要的时间为25min.故选C.

【答案］C

应用（二）求曲线方程

［例2］已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为看，且其焦点到渐近线的

距离为2,则该双曲线的标准方程是（）

222

A.y-^-=1B.y—j2=l

x2y2X2y2

L・641”1241

［解析］由题意可设双曲线的标准方程为方一力=l（a>0,Z>>0）,

因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为玄，所以双曲线的一条渐近线方程为7=乎匚

但=亚

a=2J3,

即X一a=（）,所以田信=2,解得C=4,由。一3，解得＜

［16=/+/,lb=2,

所以双曲线的标准方程是3=1.故选D.

［答案］D应用（三）求数列通项或前“项和

［例3］已知等差数列｛%｝的前n项和为S„（nGZ*）,且S3=21,Ss=65,则S,,=

［解析］设等差数列｛斯｝的前"项和为S„=An2-^-Bn.

AX32+BX3=21,［3A+B=7,

由已知可得,化简得，

AX52+BX5=65,154+3=13,

解得所以S〃=3〃2—2〃.

B=-2.

［答案I3,，—2〃

［应用体验］

1.二次不等式M+必+2>0的解集是（T3,则a+b的值是（）

A.10B.-10

C.14D.-14

解析：选D由不等式的解集是（得，D，可知V，果方程"2+法+2=（）的两根,

a=-12,

可得S解得所以。+方=-14.故选D.

[b=-2f

2.过三点4(1,3),3(4,2),C(l,-7)的圆交y轴于M,N两点，则|MN|=()

A.2y[6B.8

C.4#D.10

解析：选C设圆的方程为¥+72+。丫+a+产=0,

ro+3E+F+10=0,fD=~2,

则(4O+2E+f+20=0,解得<E=4,

10-7E+F+50=0,1F=一20.

.♦.圆的方程为x2+j2_2x+4j—20=0.

令x=0,得y=-2+2祈或y=-2-2班，

一2+2班)，N(0,—2—2班)或M(0,一2一2班),N(0,-2+2^6),，|MN|

=4、历.故选C.

3.已知函数,八%)=4011(3：+。)(4>0,|，|<")的部分图象如图所示，将函数y=/(x)的

图象向右平移号个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（

)

-SO

A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2s

C.g(x)=2sD.g(x)=2s

解析：选D由图得4=2,7=零一（一~2n

所以3-7一2・

3nn

88n,“n,n.〜n,

因为x=-i—=丁时，j=2,所以2X三~+e=?+2kn(A£Z),所以0=~r+2kn

Loozq

(YZ),

因为I例Vn,所以。二号，所以函数/(x)=2siiG+：)

因为函数g(x)的图象由函数,/U)的图象向右平移々■个单位长度得到，所以g(x)=/(x一方)

=2sin[2Q—§)+：]=2sin(2x—.故选D.

4,已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且x20时，/(x)=(—x+a+l)log2(x+2)+x

+/n,其中a,机是常数，且a>0.若｛0)+犬。)=1,则人加-3)=()

A.1B.-l

D.-6

解析：选C由题意知大0)=。+1+加=0,所以“+，〃=—1,又大a)=log23+2)+a+m,

f^)+f(a)=l9・・・log23+2)-l=l,所以1。取(。+2)=2,解得。=2,所以胆=一3.于是，当

x20时，/(x)=(3—x)log2(x+2)+x-3.故人机-3)=八-6)=一46)=-(―31og28+3)=6.故选

第6术蹊径可辟，分割补形

所谓割补法就是把一个复杂面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计

算或将一个不易求出面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形.也就

是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形或几何体.例如，

方法概述把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、

把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体(特别是三棱锥)、把

不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的

转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的

在解决几何问题过程中，割补法是一种常用的方法.无论是平面几何、解析几

应用题型何、还是立体几何，适时使用割补法，能帮助我们找到问题的突破口，把问题

放到特殊的几何图形中，借助特殊图形分析问题，有时会柳暗花明，事半功倍

方法(一)分割法

[例1](1)为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则

小区的面积是()

3+%23—yf62

A・jkm2B./km2

6+^32

—匚km2km2

4DN4

（2）如图，在多面体A3COE尸中，已知四边形A3CD是边长为1的正方形，且△ADE,

△BC尸均为正三角形，EF//AB,EF=2,则多面体的体积为（）

［解析］⑴如图，连接AC.在中，根据余弦定理可得AC=

y]AB1+BC1-2ABBC-cos60°=^3km,

又AB=2km,BC=1km,

所以

所以△ABC为直角三角形，

且NACB=90°,ZBAC=30",

故NZMC=NOC4=15°.

所以△AOC为等腰三角形，且NZ）=150°,

设AD=DC=xkm,

根据余弦定理得X2+X2+V3X2=3,

即/僚=3f.

所以小区的面积为:义1义/+；乂3（2—市）X；=2*+：-3小="*（km2）.故选D.

（2）法一：如图，在EF上取点跖N,使£M=FN=；,连接MA,MD,NB,NC,则

_________c

MN=1,三棱柱4OM-BCN是直三棱柱，DM=AM=.4七一后初=与

设”为A。的中点，连接MH,则MHLAD,

.______、历

且M"=y］AM2~AH2=^-,

；•SAAZW=；AO*MH^^.

：•\BCDEb~2VE-ADM"^VADM-BCN

呼

11追

-X-X1V23

32+-4